Muchas soluciones generales y singulares de Clairaut DE

Question

El ODE $$ (y-xy')^2-y'^2=1$$ Creo que como es una EDO de primer orden y segundo grado, se puede resolver escribiéndola de esta forma y=F(y',x) y luego diferenciando wrt x , o escribiéndola de la forma x=F(y,y') y luego diferenciando wrt y . (por favor, dime si esto es incorrecto).

En lugar de hacer esto, lo resolví de la siguiente manera, transformándolo en dos DE de Clairaut:

Obtuve dos soluciones generales y cuatro soluciones singulares, siento que algunas soluciones son rechazadas pero qué soluciones y por qué :

Primera solución :
$$y=xy'+\sqrt{1+y'^2}$$ Diferenciar wrt x $$y''(x+\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}})=0$$ por lo que la solución general es $$y=xc+\sqrt{1+c^2}$$ La solución singular es cuando $$x=-\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$$ o podemos escribirlo como $$y'=\pm \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$ Eliminar y' del DE $$y=xy'+\sqrt{1+y'^2}$$ Entonces tenemos 2 soluciones singulares ya que y' es positivo o negativo , las soluciones singulares son: $$y=\frac{x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$y=\frac{-x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{1-x^2}$$

La segunda solución , tomaremos la raíz cuadrada negativa para y $$y=xy'-\sqrt{1+y'^2}$$ Aplicar los mismos pasos, así que diferenciar wrt x $$y''(x-\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}})=0$$ por lo que la segunda solución general es $$y=xc-\sqrt{1+c^2}$$ La solución singular es cuando $$x=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$$ o podemos escribirlo como $$y'=\pm \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$ Eliminar y' del DE $$y=xy'-\sqrt{1+y'^2}$$ Así que las otras dos soluciones singulares serán $$y=\frac{x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}=-\sqrt{1-x^2}$$ $$y=\frac{-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Answer 1

Has encontrado las soluciones lineales
$$y=cx+s\sqrt{1+c^2}\tag{LINSOL}$$ en ambos casos $s=\pm 1$ para el signo constante de la raíz cuadrada en $$y=y'x+s\sqrt{1+y'^2}\tag{ODE}$$ correctamente. Sin embargo, para las soluciones singulares hay que observar que en la ecuación $$ x+s\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=0\tag1 $$ los signos de $x$ y $y'$ están acoplados. Así, mientras $x^2=\frac{y'^2}{1+y'^2}$ implica de hecho $$ |y'|=\frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}},\tag2 $$ sólo hay una solución para cada valor de $s$ , $$ y'=-s\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\tag3 $$ Insertando de nuevo en la ecuación original (ODE) se obtiene $$ y=-s\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+s\frac1{\sqrt{1-x^2}}=s\sqrt{1-x^2}\tag{SINGSOL} $$

Answer 2

La ecuación diferencial dada es $$(y-xy')^2-y'^2=1$$

$$\implies y=xy'\pm\sqrt{1+y'^2}$$ que es de la forma de Clairaut.

Diferenciando ambos lados con respecto a $x$ tenemos

$$y'=y'+xy''\pm\frac{y'y''}{\sqrt{1+y'^2}}\implies y''(x\pm\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}})=0$$ que da $y''=0\implies y'=c,\quad$ donde $c$ es una constante arbitraria

Por lo tanto, la solución general de la solución diferencial dada es $$y=cx\pm\sqrt{1+c^2}$$ donde $c$ es una constante arbitraria.

También $$x\pm\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=0\implies y'=\pm\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$ Integrar, $$y=\pm\sqrt{1-x^2}$$ Estas son las soluciones singulares.

${}$

Conclusión:

• Si consideramos la ecuación diferencial dada $$(y-xy')^2-y'^2=1$$ es de la forma $$ y=xy'+\sqrt{1+y'^2}$$ entonces la solución general de la ecuación diferencial es $$y=cx+\sqrt{1+c^2}$$ donde $c$ es una constante arbitraria $\qquad$ y la solución singular sea $$y=\pm\sqrt{1-x^2}.$$

• De nuevo, si consideramos la ecuación diferencial dada $$(y-xy')^2-y'^2=1$$ es de la forma $$ y=xy'-\sqrt{1+y'^2}$$ entonces la solución general de la ecuación diferencial es $$y=cx-\sqrt{1+c^2}$$ donde $c$ es una constante arbitraria $\qquad$ y la solución singular sea $$y=\pm\sqrt{1-x^2}.$$