¿Estos dos diagramas conmutativos representan el mismo homomorfismo?

Question

Consideremos las dos álgebras ordenadas de forma múltiple $\mathtt{A}$ , $\mathtt{B}$ y el homomorfismo $h:\mid \mathtt{A}\mid \to \mid \mathtt{B}\mid$ abajo. ¿Los diagramas conmutativos de la Figura 1 y la Figura 2 representan adecuadamente $h$ ? Puede $h_2$ ¿se puede suprimir de la figura 1 para obtener la figura 2? Por lo que sé, la identidad y la composición no se etiquetan en los diagramas conmutativos.

$\mathtt{A}$ , $\mathtt{B}$ y $h$ se basan en este papel .

En álgebra $\mathtt{A}$ un punto se representa mediante una tripleta formada por un nombre y unas coordenadas enteras. Los puntos se consideran iguales si tienen el mismo nombre.

\begin{aligned} & \mathtt{Point_A} = \{ \langle name,x,y \rangle \mid name \in \mathtt{String}, x,y \in \mathbb{Z} \} \\ & \mathtt{equal_A} : \mathtt{Point_A} \times \mathtt{Point_A} \to \mathbb{B}\\ & \mathtt{equal_A}(\langle name_1,x_1,y_1 \rangle , \langle name_2,x_2,y_2 \rangle) \triangleq (name_1 =_{\mathtt{String}} name_2) \end{aligned}

Álgebra $\mathtt{B}$ representa un punto como una 2-tupla de coordenadas con la igualdad del punto basada en el valor entero de cada componente de coordenadas.

\begin{aligned} & \mathtt{Point_B} =\{ \langle x,y\rangle \mid x,y \in \mathbb{Z}\} \\ & \mathtt{equal_B} : \mathtt{Point_B} \times \mathtt{Point_B} \to \mathbb{B}\\ &\mathtt{equal_B}(\langle x_1,y_1 \rangle ,\langle x_2,y_2 \rangle ) \triangleq ((x_1 =_\mathbb{Z} x_2) \land (y_1 =_\mathbb{Z} y_2)) \end{aligned}

El homomorfismo $h:\mid \mathtt{A}\mid \to \mid \mathtt{B}\mid$ se define como sigue: \begin{aligned} & h_1 : \mathtt{Point_A} \to \mathtt{Point_B}\\ & h_1(\langle name,x,y \rangle) = \langle x,y \rangle \\ & h_2 : \mathbb{B} \to \mathbb{B}\\ & h_2(x) = x\\ \end{aligned} Dónde $h_1$ olvida el nombre y $h_2$ es un mapeo de identidad.

El diagrama conmutativo de la figura 1 representa el homomorfismo: $h_2(\mathtt{equal_A}(a,b)) = \mathtt{equal_B}(h_1(a), h_1(b))$ ?

El diagrama conmutativo de la figura 2 representa el homomorfismo: $\mathtt{equal_A}(a,b) =\mathtt{equal_B}(h_1(a), h_1(b))$ .

Answer 1

Según su definición de $h_2$ como la identidad en $\mathbb{B}$ Las figuras 1 y 2 son equivalentes, es decir $h_2$ puede eliminarse de la figura 1 para obtener la figura 2, que tiene el mismo significado que la figura 1.

El problema es que los diagramas de las figuras 1 y 2 no conmutan. Toma en $|\mathtt{A}|$ \begin{align} a_1 &= \langle \text{Rome}, 0, 1 \rangle & a_2 &= \langle \text{Rome}, 0, 2 \rangle \end{align} Entonces, $\mathtt{equal_A}(a_1, a_2)$ es cierto porque $\text{Rome} =_\mathtt{String} \text{Rome}$ pero $h_1(a_1) = \langle 0,1 \rangle$ y $h_1(a_2) = \langle 0, 2\rangle$ Por lo tanto $\mathtt{equal_B}(h_1(a_1), h_1(a_2)) = \mathtt{equal_B}(\langle 0,1\rangle, \langle 0 , 2\rangle)$ es falso porque $1 \neq_\mathbb{Z} 2$ .

Por supuesto, los dos diagramas se conmutan si se supone que no hay lugares diferentes con el mismo nombre.