Resolución de una integral impropia dada

Question

Por desgracia, he olvidado cómo resolver la siguiente integral impropia.

\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos{x}}{x^2+4}\;dx \end{equation}

¿Podría dar algunas pistas?

Answer 1

SUGERENCIA:

Dejemos que $I(a)=\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(ax)}{x^2+4}\,dx$ y mostrar ( Ver esta respuesta , y este otro ) que $I''(a)=4I(a)$ junto con $I(0)=\pi/2$ y $I'(0)=-\pi$ .

Encuentre $I(a)$ como solución de la EDO y las condiciones iniciales, entonces establece $a=1$ .