Demuestre que no existe ninguna topología con la propiedad de que el interior de cualquier conjunto es no vacío si y sólo si el conjunto es infinito.
Respuesta
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El espacio topológico vacío es el único contraejemplo. Supongamos por contradicción que existe un no vacío espacio topológico $X$ en el que cualquier conjunto tiene un interior no vacío si y sólo si es infinito. Elija un conjunto contablemente infinito $Y\subseteq X$ y una familia incontable $(Z_t:t\in\mathbb R)$ de subconjuntos infinitos casi disjuntos de $Y$ . Cada conjunto $Z_t$ al ser infinito, tiene un interior no vacío. Esos interiores deben ser disjuntos por pares, ya que sus intersecciones por pares, al ser abiertas y finitas, deben ser vacías. Por lo tanto, tenemos una familia incontable de subconjuntos no vacíos de $Y$ , contradiciendo el hecho de que $Y$ es contable.
P.D. El argumento anterior utiliza una forma débil del axioma de elección, a saber, que todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito. Este uso del axioma de elección no puede evitarse. Consideremos un espacio infinito $X$ con la topología cofinita, es decir, los conjuntos abiertos son los conjuntos cofinitos y el conjunto vacío. Claramente, un subconjunto de $X$ tiene un interior no vacío si y sólo si es cofinito. Ahora bien, es consistente con la ZF (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) que existe una llamada conjunto amorfo es decir, un conjunto infinito que no puede dividirse en dos conjuntos infinitos. Si $X$ es un conjunto de este tipo, entonces "cofinito" = "infinito" para subconjuntos de $X$ .
