¿Existe un nombre para este mapeo?

Question

Deseo tomar un conjunto de puntos descritos mediante coordenadas cartesianas ( $x, y$ ) y las mapeamos a un conjunto de coordenadas polares ( $r, \theta$ ), de manera que $r = y$ y $\theta = x$ . Así, las líneas horizontales se convierten en círculos y las verticales en líneas radiales.

1) ¿Hay un nombre para esta transformación? Espero que sea algo pegadizo como Polarización ...

2) ¿Qué pasará con una línea angular como $y = mx + c$ (donde $c \ne 0$ ) bajo esta transformación? (Supongo que una hipérbola...)

Answer 1

Recordemos que el cambio de variable estándar es sólo una función $f: (x,y)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2} ,\arctan (\frac yx ))$ con condiciones sobre la tangente inversa porque debe dar valores diferentes según los signos de $x,y$ . Entonces la función inversa es $f^{-1} :(r, \theta ) \mapsto (r\cos \theta , r\sin \theta)$

De todas formas, lo que has descrito es simplemente enchufar $(y,x)$ (como radio y ángulo) en la función inversa,

$$(\tilde x, \tilde y) = (y \cos x, y \sin x)$$

Dónde $(\tilde{x},\tilde{y})$ son las nuevas coordenadas.

Así, la primera ecuación muestra que para la misma $y$ las líneas horizontales se convertirían en un círculo. Mientras que el mismo $x$ (línea vertical) se asignaría a la línea recta $y=mx$ .

Generalmente se da $L=\{(t,mt+c): \forall t\in \Bbb{R} , m,c \in \Bbb{R} \}$

Esto da $ (\tilde x, \tilde y) = ((mt+c)\cos t, (mt+c) \sin t)$ que es una curva parametrizada por $t$ . Observe si $t$ aumenta, el radio aumenta, mientras que el ángulo gira continuamente. Así, por ejemplo, si $m,c >0$ la curva comienza como $(c,0)$ y se extiende en espiral hacia el exterior.

Answer 2

No sé nada de la parte (1), pero puedo responder a la parte (2).

Tienes la ecuación "polarizada" $r=a\theta+b=a\left(\theta+\frac{b}{a}\right)$ . Observe que $r=a\theta$ es sólo un La espiral de Arquímedes y el $\frac{b}{a}$ hace una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de $\frac{b}{a}$ radianes, por lo que cualquier línea no horizontal y no vertical no es más que una espiral de Arquímedes girada.