Límite de una expresión integral

Question

¿Alguien tiene alguna idea de cómo resolver este problema? No tengo ni la más remota idea de cómo iniciarlo. Agradecería una solución, gracias por su paciencia.

Answer 1

Probablemente haya una forma mejor de hacer esto, pero lo diré por ahora. Primero, reescribe $$\dfrac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} = \dfrac{1}{1+\cot^n{x}}.$$ Ahora, fíjate que $\cot{x} > 1$ cuando $0 < x < \pi/4$ , $\cot{\pi/4} = 1$ y $0 < \cot{x} < 1$ para $\pi/4 < x \leq \pi/3$ . Por lo tanto, $$\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{1+\cot^n{x}} = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \quad \mbox{if } 0 < x < \pi/4\\ 1/2 & \quad \mbox{if } x = \pi/4\\ 1 & \quad \mbox{if } \pi/4 \leq x \leq \pi/3 \end{array}\right.$$ Esto se debe a que el $a^n \to \infty$ si $a$ es un número fijo para que $a > 1$ y $a^n \to 0$ si $0 < a < 1$ . Dejemos que $f(x)$ sea esta función a trozos. Así, moviendo el límite dentro de la integral (lo que se puede hacer porque el integrando está limitado por debajo por 0 y por encima por 1) $$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/3} \dfrac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \, dx &= \lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi/3} \dfrac{1}{1+\cot^n{x}} \,dx\\ &= \int_0^{\pi/3} \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{1+\cot^n{x}} \, dx\\ &= \int_0^{\pi/3} f(x) \, dx\\ &= \int_0^{\pi/4} f(x) \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/3}f(x) \, dx\\ &= 0 + 1\cdot (\pi/3 - \pi/4)\\ &= \frac{\pi}{12}. \end{align*}$$