¿Alguien tiene alguna idea de cómo resolver este problema? No tengo ni la más remota idea de cómo iniciarlo. Agradecería una solución, gracias por su paciencia. 
Respuesta
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Probablemente haya una forma mejor de hacer esto, pero lo diré por ahora. Primero, reescribe $$ \dfrac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} = \dfrac{1}{1+\cot^n{x}}. $$ Ahora, fíjate que $\cot{x} > 1$ cuando $0 < x < \pi/4$ , $\cot{\pi/4} = 1$ y $0 < \cot{x} < 1$ para $\pi/4 < x \leq \pi/3$ . Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{1+\cot^n{x}} = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \quad \mbox{if } 0 < x < \pi/4\\ 1/2 & \quad \mbox{if } x = \pi/4\\ 1 & \quad \mbox{if } \pi/4 \leq x \leq \pi/3 \end{array}\right. $$ Esto se debe a que el $a^n \to \infty$ si $a$ es un número fijo para que $a > 1$ y $a^n \to 0$ si $0 < a < 1$ . Dejemos que $f(x)$ sea esta función a trozos. Así, moviendo el límite dentro de la integral (lo que se puede hacer porque el integrando está limitado por debajo por 0 y por encima por 1) $$ \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/3} \dfrac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \, dx &= \lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi/3} \dfrac{1}{1+\cot^n{x}} \,dx\\ &= \int_0^{\pi/3} \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{1+\cot^n{x}} \, dx\\ &= \int_0^{\pi/3} f(x) \, dx\\ &= \int_0^{\pi/4} f(x) \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/3}f(x) \, dx\\ &= 0 + 1\cdot (\pi/3 - \pi/4)\\ &= \frac{\pi}{12}. \end{align*} $$
