Al hacer la sustitución $x=\pi-t$ demuestran que..: $ \int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin{x})dx $

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente problema:

Al hacer la sustitución $x=\pi-t$ demuestran que..:

$$ \int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin{x})dx $$

Este es mi trabajo hasta ahora:

$$ x=\pi-t \\dx=-dt $$

$$ \int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\int_{0}^{\pi}(t-\pi)f(\sin(\pi-t))dt\\ \int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\int_{0}^{\pi}tf(\sin(t))dt-\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin(t))dt $$

Me he dado cuenta de que $$\int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx$$ y $$\int_{0}^{\pi}tf(\sin(t))dt$$ son muy similares y $$\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin(t))dt$$ también se acerca a lo que quiero encontrar.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo seguir avanzando.

Cualquier ayuda será muy apreciada

EDITAR: Como se menciona en el comentario, me olvidé de cambiar los límites de la integración. Después de cambiar los límites, tengo: $$ \int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\int_{\pi}^{0}tf(\sin(t))dt-\pi\int_{\pi}^{0}f(\sin(t))dt\\ \int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin(t))dt-\int_{0}^{\pi}tf(\sin(t))dt $$

Veo que esto se acerca mucho a la respuesta final. Sin embargo, todavía no sé cómo puedo eliminar la variable $t$

Answer 1

A tan sólo unos cuantos giros de cartel de distancia de la misma. $$\int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\int_{\pi}^{0}(\pi-t)f(\sin(\pi-t))(-dt)\\ =\int_{0}^{\pi}(\pi-t)f(\sin(\pi-t))dt\\ =\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin(t))dt-\int_{0}^{\pi}tf(\sin(t))dt $$

Es evidente que el valor de una integral definida es independiente de la variable ficticia que utilicemos para describirla. Así que podemos hacer una manipulación algebraica para obtener

$$2\int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin(t))dt$$ $$\int_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx=\frac\pi2\int_{0}^{\pi}f(\sin(t))dt$$

Answer 2

Has cometido el error de omitir un signo negativo en tu última ecuación, si dejas $I=\displaystyle \int_0^{\pi} x f(\sin x)\mathrm dx$ entonces el resultado correcto es $$\int_0^{\pi} xf(\sin x)\text dx=\pi \int_0^{\pi}f(\sin t) \text d t-\int_0^{\pi} tf(\sin t)\text d t$$ Pero como $$\displaystyle \int_0^{\pi} xf(\sin x)\text dx=\int_0^{\pi }tf(\sin t) \text d t$$ porque $t$ es sólo una variable ficticia, obtenemos $\displaystyle I=\dfrac{\color{red}\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) \text{d} x$ .

Editar: Esto fue respondido en el contexto de la pregunta original antes de la edición.

Answer 3

pista

Dejemos que $$I=\int_0^\pi xf(\sin(x))dx$$

con $ t=\color{red}{\pi} -x$ se convierte en

$$I=\int_{\color{red}{\pi}-0}^{\color{red}{\pi}-\pi}(\pi-t)f(\sin(\pi-t))(-dt)=$$

$$\int_0^\pi(\pi-t)f(\sin(t))(+dt)=$$

$$\pi\int_0^\pi f(\sin(t))dt-I$$

así

$$2I=\pi \int_0^\pi f(\sin(t))dt$$ $$=\pi \int_0^\pi f(\sin(x))dx$$

y $$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin(x))dx$$

Answer 4

$$I=\int_0^\pi x\,f(\sin x)dx$$ $x=\pi-t\Rightarrow dx=-dt$ Así que..: $$I=\int_\pi^0(\pi-t)f\left[\sin(\pi-t)\right](-dt)=\int_0^\pi(\pi-t)f(\sin t)dt$$ $$=\pi\int_0^\pi f(\sin t)dt-\int_0^\pi t\,f(\sin t)dt$$ que es lo mismo que decir: $$I=\pi\int_0^\pi f(\sin t)dt-I$$ y así reordenar esta ecuación y obtenemos: $$I=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx$$