Ejemplo de subsecuencia uniformemente convergente de una secuencia de funciones que es convergente puntualmente.

Question

Dejar $ {f_n} $ sea una secuencia de funciones sobre cualquier subconjunto de $ \mathbb R $ y converge puntualmente a cero. ¿Es posible obtener una subsecuencia que converja uniformemente a cero? Gracias de antemano.

Answer 1

Si $$f_n(x)=\begin{cases}1,&(x\ge n),\\0,&(x<n)\end{cases}$$ está claro que $f_n(x)\to0$ por cada $x$ pero ninguna subsecuencia converge uniformemente

Answer 2

Considere la secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ de funciones de $\mathbb R$ en sí mismo definido por $$f_n(x)=\begin{cases}\dfrac1{(1+x^2)^n}&\text{ if }x\neq0\\0&\text{ otherwise.}\end{cases}$$ y demostrar que ninguna subsecuencia de esta secuencia converge uniformemente. Sin embargo, $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converge puntualmente a la función nula.

Answer 3

Un ejemplo clásico es la secuencia $f_n(x)=x^n, n=1,2,\dots $ en $(0,1).$