Una pregunta sobre la expectativa condicional

Question

Se tira un dado justo repetidamente. Sea $X$ sea el número de tiradas necesarias para obtener un 6 y $Y$ el número de tiradas necesarias para obtener un 5. Necesito ayuda para calcular $E(X |Y = 1)$ y $E(X|Y=5)$ .

Sé que $X$ es una variable aleatoria geométrica, por lo que $E(X)=6.$ Mi opinión para el primero es 7, pero no estoy seguro. Dado $Y=1$ significa que la primera tirada no puede ser un 6, por lo que se necesitarán al menos 2 tiradas para obtener un 6. ¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

EDITAR : Gracias a André, me ha dado una bofetada justo cuando la necesitaba, es decir, antes de mi examen de análisis aplicado de mañana. XD Haré esta respuesta bien antes de traer más vergüenza sobre mí.

Mi ex enfoque para el caso $Y=5$ es, en efecto, hacer todo más complicado. La forma más fácil y no complicada de hacerlo es simplemente utilizar la definición de la expectativa : $$ \mathbb E(X \, | \, Y = 5) = \sum_{n=1}^{\infty} \, n \, \mathbb P(X = n \, | \, Y = 5). $$ Ahora sólo tenemos que calcular esas probabilidades. Sabemos que $P(X = 5 \, | \, Y = 5) = 0$ , por lo que se elimina este término. Para los cuatro primeros términos, observe que $$ \mathbb P(X = n \, | \, Y = 5) = \left( \frac 45 \right)^{n-1} \left( \frac 15 \right) = \frac{4^{n-1}}{5^n}, n=1, 2, 3, 4. $$ porque la condición $Y=5$ único medio para $X$ que las cuatro primeras tiradas no pueden tomar el valor $5$ por lo que el valor de esos rollos se vuelve independiente y se distribuye uniformemente sobre $\{1,2,3,4,6\}$ .

Para las próximas tiradas, $Y=5$ da información sobre las cinco primeras tiradas, pero no sobre las siguientes. Así, $$ \mathbb P(X = n \, | \, Y = 5) = \left( \frac 45 \right)^4 \left( \frac 56 \right)^{n-6} \left( \frac 16 \right). $$ El $n-6$ representa el número de tiradas después de las primeras cinco tiradas que no son un 6 antes de que obtengas tu primera $6$ (que da la $1/6$ término). Por lo tanto, la serie que miramos en la expectativa se puede calcular, después de los primeros 5 términos, como la derivada de una serie geométrica en $\left( \frac 56 \right)$ . No quiero calcularlo ahora porque lo voy a estropear, estoy definitivamente demasiado cansado para esto.

Answer 2

E(X | Y = 1)= (1 * 1/5)+ ((6+1)*(4/5)) = 5,8

E(X | Y = 5)= (1 * 1/5)+ ((6+5)*(4/5)) = 9