La acción de SU(2) en la esfera de Riemann

Question

Una forma de obtener la conocida doble cobertura $\text{SU}(2) \to \text{SO}(3)$ es tener en cuenta que $\text{SU}(2)$ es isomorfo al grupo de cuaterniones unitarios y dejar que los cuaterniones unitarios $q$ actúen en el subespacio $V$ de $\mathbb{H}$ generado por $i, j, k$ a través de la conjugación $t \mapsto qtq^{-1}$; esto preserva la norma. (Alternativamente, esta es la acción adjunta en el álgebra de Lie, que preserva la forma de Killing.)

Otra forma de hacer esto es dejar que $\text{SU}(2)$ actúe en $\mathbb{P}^1(\mathbb{C)$, que es difeomorfo a la esfera. Esto da una acción de $\text{SU}(2)$ por automorfismos conformes. Sin embargo, no sé cómo probar que $\text{SU}(2)$ realmente actúa por rotaciones (al menos, no sin algunos cálculos explícitos y poco esclarecedores).

Para ser más preciso, si fijamos un producto interno en $\mathbb{C}^2$, entonces el espacio de rectas en $\mathbb{C}^2$ se puede dotar de la métrica Fubini-Study, que $\text{SU}(2)$ preserva. Pero ¿cómo puedo demostrar que la métrica Fubini-Study coincide con la métrica natural en la esfera (hasta una constante)?

Answer 1

De acuerdo, olvida la métrica de Fubini-Study. Creo que tengo una solución alternativa. Replanteemos el problema de la siguiente manera. Escogeremos una coordenada local $z$ y pensaremos en los elementos de $\text{PSL}_2(\mathbb{C})$ como transformaciones lineales fraccionarias $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$. Agregar un producto interno en la copia subyacente de $\mathbb{C}^2$ nos permite asociar a cualquier $z$ su "complemento ortogonal" $- \frac{1}{\bar{z}}$, y la elección correcta de proyección estereográfica envía complementos ortogonales a antípodas.

Ahora, un elemento de $\text{PSL}_2(\mathbb{C})$ respeta antípodas (o equivalentemente, complementos ortogonales) si y solo si pertenece a $\text{PSU}(2)$, por lo que solo queda demostrar que cualquier automorfismo conforme orientación-preservante que preserve antípodas en la esfera de Riemann es una rotación. Ciertamente, una transformación lineal fraccionaria $g$ que preserve antípodas debe tener dos puntos fijos antipodales del mismo tipo. No pueden ser ambos atractivos o ambos repulsivos (eso contradice el hecho de que el producto de los autovalores sea $1$), por lo que ambos son de otro tipo. Esto debería ser suficiente para concluir que $g$ conserva las distancias a sus puntos fijos, lo cual solo es posible si es una rotación (y expandirse en una coordenada local en los puntos fijos lo demuestra si nada más lo hace).

Answer 2

Con la métrica F-S, $\mathbf P^1(\mathbb C)$ es una superficie de Riemann sobre la cual un grupo actúa de forma transitoria. Esto implica que la curvatura es constante. Ahora, la clasificación de formas espaciales, por ejemplo, muestra que tal cosa está cubierta localmente isométricamente por $S^2$, la esfera redonda, $E^2$, el plano plano, o $H^2$, el plano hiperbólico. Dado que $\mathbf P^1(\mathbb C)$ es simplemente conexa y compacta, su única cobertura es la identidad, y dado que es compacta, debe ser una esfera redonda.

Answer 3

Por supuesto que hay muchas difeomorfismos posibles $\mathbb{CP}^1\simeq S^2$, y por supuesto la acción transportada de $\mathrm{SU}(2)$ en $S^2$ no será por rotaciones con respecto a todos ellos. Algunos difeomorfismos canónicos son dados por la proyección estereográfica. (Digo "algunos" porque se podría realizar la proyección independientemente del tamaño de la esfera o de dónde esté ubicada dentro del espacio tridimensional $\mathbb{R}\times\mathbb{C}$.)

Cada elemento de $\mathbb{CP}^1$ es una recta $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}^2$, digamos $\mathbb{C}[\begin{smallmatrix} \alpha \\ \beta\end{smallmatrix}]$ (donde $[\begin{smallmatrix} \alpha \\ \beta\end{smallmatrix}]$ es un vector unitario), que corresponde a una mapa de proyección $p\in M_2(\mathbb{C})$ dado por $p(x)=[\begin{smallmatrix} \alpha \\ \beta\end{smallmatrix}]\langle [\begin{smallmatrix} \alpha \\ \beta\end{smallmatrix}],x\rangle$ (suponiendo que su producto interno es conjugado-lineal en el primer argumento), que es igual a

$$ p=\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta\end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix} \alpha\overline{\alpha} & \alpha\overline{\beta} \\ \beta\overline{\alpha} & \beta\overline{\beta}\end{bmatrix}. \tag{1}$$

Esta es una matriz hermítica con traza $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Si la duplicamos y restamos $I$, obtenemos una matriz hermítica sin traza. ¿Cuál es el efecto de este mapeo de $\mathbb{CP}^1$ a $M_2(\mathbb{C})$? Escribe

$$\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1+|x|^2}}\begin{bmatrix}1 \\ x\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad 2p-I=\begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1-|x|^2}{1+|x|^2} & \displaystyle \frac{2\overline{x}}{1+|x|^2} \\ \displaystyle \frac{2x}{1+|x|^2} & \displaystyle -\frac{1-|x|^2}{1+|x|^2}\end{bmatrix}. \tag{2}$$

Denota por $\mathfrak{h}_2'(\mathbb{C})$ el espacio vectorial de matrices complejas $2\times 2$ sin traza. La inclusión de $\mathbb{CP}^1$ es por lo tanto la proyección estereográfica $\mathbb{C}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R}\times\mathbb{C}$ compuesta con el isomorfismo obvio $\mathbb{R}\times\mathbb{C}\cong \mathfrak{h}_2'(\mathbb{C})$. Con respecto a la norma de Frobenius, la imagen de este mapa es la esfera usual definida por la métrica.

Observa que $\mathrm{SU}(2)$ actúa en $\mathfrak{h}_2'(\mathbb{C})$ por conjugación. Esto preserva la norma

$$ \|X\|_{\small F}^2=\sum_{i,j}|x_{ij}|^2=\sum \|\mathrm{fila}\|^2=\sum\|\mathrm{columna}\|^2 \tag{3}$$

porque la multiplicación izquierda por $g\in\mathrm{SU}(2)$ preserva normas de columnas y la multiplicación derecha preserva normas de filas. Por lo tanto, actúa por rotaciones. Alternativamente podríamos haber usado ciclaje:

$$\|gXg^{-1}\|_{\small F}^2=\mathrm{tr}((gXg^{-1})(gXg^{-1})^\dagger)=\mathrm{tr}(gXX^\dagger g^{-1})=\mathrm{tr}(g^{-1}gXX^\dagger)=\|X\|_{\small F}^2. \tag{4}$$

El mapa $\mathbb{CP}^1\to\mathfrak{h}_2'(\mathbb{C})$ es $\mathrm{SU}(2)$-equivariante porque la acción inducida es

$$g\cdot p=\left(g \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\end{bmatrix}\right)\left(g \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\end{smallmatrix}\right)^\dagger =gpg^{-1}. \tag{5}$$

Por lo tanto, la acción de $\mathrm{SU}(2)$ en $\mathbb{CP}^1$ transportada vía proyección estereográfica a $S^2$ es de hecho por rotaciones, y tenemos un mapa natural $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(\mathfrak{h}'_2(\mathbb{C}))$ (esencialmente $\mathrm{SO}(3)$). El núcleo consiste en matrices cuyas transformaciones lineales fraccionarias asociadas son triviales, por lo que $\{\pm I\}$.

Los tres valores más agradables $0,1,i\in\widehat{\mathbb{C}}$ corresponden a las matrices de Pauli:

$$0\leftrightarrow\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}, \quad 1\leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad i\leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \tag{6}$$

Sus estabilizadores corresponden a rotaciones alrededor de los ejes de una base ortonormal (lo que también creo que produce sobreyectividad si eso es de interés). Esto debería ser aceptable intuitivamente al dibujar los flujos vectoriales correspondientes alrededor de los tres puntos en $\mathbb{C}$ y luego imaginar su efecto después de la proyección estereográfica en la esfera de radio unitario centrada en el origen en $\mathbb{R}\times\mathbb{C}$.

Si interpretamos $\mathrm{SU}(2,\mathbb{R})$ como $\mathrm{SO}(2)$ y $\mathrm{SU}(2,\mathbb{H})$ como $\mathrm{Sp}(2)$, y tratamos $\mathbb{H}^2$ como un espacio vectorial derecho sobre los cuaterniones $\mathbb{H}$, el argumento anterior se puede generalizar para producir más homomorfismos de grupos de Lie $2$-a-$1$ (es decir, mapas de espín). Según Baez, esto también se puede hacer para los octoniones $\mathbb{O}$ interpretando adecuadamente $\mathrm{SU}(2,\mathbb{O})$. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{array}{|l|} \hline \mathrm{SU}(2,\mathbb{R})\to\mathrm{SO}(2) \\ \hline \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})\to \mathrm{SO}(3) \\ \hline \mathrm{SU}(2,\mathbb{H})\to\mathrm{SO}(5) \\ \hline \mathrm{SU}(2,\mathbb{O})\to\mathrm{SO}(9) \\ \hline \end{array} \tag{7} $$