Base ortogonal para la forma bilineal dada por $H(A,B) = \operatorname{tr}(AB)$

Question

He estado pensando en esto durante un tiempo y he descubierto que para el caso 2x2 las matrices son simplemente $\{e_{11}, e_{12} + e_{21}, e_{21}, e_{22}\}$ donde $e_{ij}$ es la matriz con $1$ en el $ij$ entrada, $0$ en todos los demás lugares. Sin embargo, no puedo ver ningún patrón con órdenes superiores. Necesito encontrar la base de la $n \times n$ caso.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Por la Ley de Inercia de Sylvester, ninguna base ortonormal es posible, incluyendo el caso de 2 por 2. En particular, su $H(e_{21},e_{21}) = 0.$

Lo que sí es posible es dar una colección de matrices como la siguiente. Hay $n$ matrices del tipo (A). Hay $\frac{n^2 - n}{2}$ matrices del tipo (B).También hay $\frac{n^2 - n}{2}$ matrices del tipo (C).

Dos matrices distintas cualesquiera de la colección total de $n^2$ son ortogonales. Dada una matriz cualquiera $\alpha$ del tipo (A), $H(\alpha, \alpha) = 1.$ Dada cualquier matriz $\beta$ del tipo (B), $H(\beta, \beta) = 1.$ Sin embargo, dada cualquier matriz $\gamma$ del tipo (C), $H(\gamma, \gamma) = -1.$

(A) todos sus $e_{ii}$

(B) con todos los $j < k,$ toma $$ \frac{1}{\sqrt 2} (e_{jk} + e_{kj}) $$

(C) con todos los $j < k,$ también tomar $$ \frac{1}{\sqrt 2} (e_{jk} - e_{kj}) $$

Ver SYLVESTER

EDIT, VIERNES: esta era una tarea inteligente, y no algo que yo conocía. Tenemos una forma cuadrática definida en matrices cuadradas con entradas reales, dada por $$ q(M) = \mbox{tr}(M^2).$$ Esta es definida positiva en el subespacio lineal dado por las matrices simétricas, ya que entonces $q(M^2) = \mbox{tr}(M M^T)$ que es la suma de los cuadrados de todos los $n^2$ entradas. Es definida negativa en las matrices simétricas, ya que entonces $q(M^2) = - \mbox{tr}(M M^T).$ Sumando las dimensiones, encontramos que el "coranco" de la forma cuadrática $q$ es $0.$ Por último, cualquier matriz simétrica $M$ y cualquier matriz simétrica sesgada $N$ son ortogonales, ya que $$ \mbox{tr}(M N) = \mbox{tr}(N^T M^T) = - \mbox{tr}(N M) = - \mbox{tr}(M N),$$ para que $ \mbox{tr}(M N) =0$ aquí.

Una matriz simétrica A siempre se puede transformar de esta manera en una matriz diagonal D que sólo tiene entradas 0, +1 y -1 a lo largo de la diagonal. La ley de inercia de Sylvester establece que el número de entradas diagonales de cada tipo es un invariante de A, es decir, no depende de la matriz S utilizada.

El número de +1s, denotado n+, se llama índice positivo de inercia de A, y el número de -1s, denotado n-, se llama índice negativo de inercia. El número de 0s, denotado n0, es la dimensión del núcleo de A, y también el coranco de A. Estos números satisfacen una relación obvia

$$n_0+n_{+}+n_{-}=n.$$

La parte inteligente es que no necesitamos hablar de la "matriz" de $q,$ que sería un $n^2$ por $n^2$ matriz. Para repetir, véase QUADRATIC

Answer 2

Realmente quieres tomar la definición como $$ H(A,B) = \mbox{tr} \; A B^T $$ en cuyo caso su colección de todos los $e_{ij}$ da efectivamente una base ortonormal.