Quiero precisar una topología para utilizar en $[-\infty,\infty]$ . Este espacio es homeomorfo a $[0,1]$ tomando $$f(x) = \tan (\pi(x-1/2))$$ como mapa. Tomando $d(x,y) = |x-y|$ , $x,y\in[0,1]$ puedo "mapear" la métrica usando $f$ para obtener una métrica sobre $[-\infty,\infty]$ ? Quizás $\overline{d}(x,y) = d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))$ ¿funcionaría?
Respuesta
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Sí, eso funciona, y es una forma estándar de obtener una métrica en algún espacio. Tenemos
Lema: Dejemos que $(X,\,d)$ un espacio métrico, y $\varphi \colon Y \to X$ una biyección. Entonces $\delta \colon Y \times Y \to \mathbb{R};\; \delta(y,\,z) = d(\varphi(y),\,\varphi(z))$ es una métrica en $Y$ y $\varphi$ es una isometría (en particular un homeomorfismo) entre $(Y,\,\delta)$ y $(X,\,d)$ .
Prueba: Tenemos $\delta(y,\,z) \geqslant 0$ ya que $d$ sólo toma valores no negativos, y
$$\delta(y,\,z) = 0 \iff d(\varphi(y),\,\varphi(z)) = 0 \iff \varphi(y) = \varphi(z) \iff y = z.$$
Tenemos $\delta(y,\,z) = d(\varphi(y),\,\varphi(z)) = d(\varphi(z),\,\varphi(y)) = \delta(z,\,y)$ Así que $\delta$ es simétrica.
Tenemos $\delta(x,\,z) = d(\varphi(x),\,\varphi(z)) \leqslant d(\varphi(x),\,\varphi(y)) + d(\varphi(y),\,\varphi(z)) = \delta(x,\,y) + \delta(y,\,z)$ para todos $x,\,y,\,z \in Y$ Por lo tanto $\delta$ satisface la desigualdad del triángulo, por lo que es una métrica.
Por la propia definición de $\delta$ , $\varphi$ es una isometría $Y \to X$ por lo que también es un homeomorfismo para las topologías inducidas por $d$ resp. $\delta$ .
Además, también tenemos la
Lema: Dejemos que $(Y,\tau)$ un espacio topológico, y $(X,\,d)$ un espacio métrico, y $\varphi \colon Y \to X$ un homeomorfismo. Entonces la métrica $\delta$ en $Y$ construido como arriba induce la topología $\tau$ en $Y$ .
Prueba: Dejemos que $y \in Y$ y $V$ a $\tau$ -Vecino de $y$ . Desde $\varphi$ es abierto (porque es un homeomorfismo), $\varphi(V)$ es una vecindad de $\varphi(y)$ por lo que existe un $\varepsilon > 0$ con $d(x,\,\varphi(y)) < \varepsilon \Rightarrow x \in \varphi(V)$ . Pero eso significa que $B^\delta_\varepsilon(y) = \{ z \in Y : \delta(z,\,y) < \varepsilon\} \subset V$ es decir, la topología inducida por $\delta$ es más fino que $\tau$ .
A la inversa, dejemos que $y \in Y$ y $\varepsilon > 0$ . Entonces $\varphi(B^\delta_\varepsilon(y)) = B^d_\varepsilon(\varphi(y))$ es una vecindad de $\varphi(y)$ y por continuidad de $\varphi$ Hay un $\tau$ -Vecindario $V$ de $y$ con $\varphi(V) \subset B^d_\varepsilon(\varphi(y)) \iff V \subset B^\delta_\varepsilon(y)$ lo que significa que $\tau$ es más fina que la topología inducida por $\delta$ .
