El teorema óptico, que resulta de la unitaridad de la $S$ -relaciona la parte imaginaria de la amplitud de dispersión directa con la sección transversal total. Cuando se utiliza este teorema en la práctica, se suele invocar el hecho de que en la teoría de perturbaciones $S$ -los elementos de la matriz salen puramente reales, a menos que haya una contribución del diagrama de Feynman en la que una partícula intermedia vaya en la cáscara. Según Peskin y Schroeder, esto es "fácilmente comprobable" en QED.
Esto es cierto, pero me cuesta ver por qué se mantiene en teorías más generales. Por ejemplo, consideremos $\phi^n$ teoría. Mantener un registro de sólo las fases mod $\pi/2$ cada vértice tiene un factor de $i$ y simultáneamente cada vértice produce $n/2$ propagadores, cada uno con un factor de $i$ por lo que un vértice da un factor de $i^{n/2+1}$ . Cuando $n$ es impar, los vértices tienen que venir en pares, por lo que los diferentes órdenes en la teoría de la perturbación están relacionados por un factor de $i^{n+1}$ que es real. Pero cuando $n$ es $0 \, (\text{mod} \, 4)$ , los diferentes órdenes de la teoría de la perturbación contribuyen con factores relativos de $i$ , por lo que parece que la afirmación es falsa.
La única salida que veo es asignar un factor de $i$ a cada integral de bucle $\int d^4 k$ . Si dicho factor existe, entonces es sencillo establecer el resultado utilizando Fórmula de Euler .
De hecho, esto es precisamente lo que ocurre en la regularización dimensional, donde la fórmula maestra es $$\int \frac{d^dp}{(2\pi)^d} \frac{p^{2a}}{(p^2-\Delta)^b} = i(-1)^{a-b} \frac{1}{(4\pi)^{d/2}} \frac{1}{\Delta^{b-a-d/2}} \frac{ \Gamma(a+\frac{d}{2}) \Gamma(b-a-\frac{d}{2})}{\Gamma(b) \Gamma(\frac{d}{2})}$$ y el lado derecho tiene el factor de $i$ de la rotación de Wick. Por un lado, esto es muy extraño: ¡se está regulando una integral real a un número imaginario! Pero, por otro lado, la regularización dimensional sólo es extraña, por ejemplo pone a cero las integrales sin masa .
Lo que me parece más inquietante es la aparente exigencia de que los bucles aporten cada uno un factor de $i$ . Esto no parece ser cierto en ningún esquema de regularización que conozca además de regularización dimensional. Pauli-Villars, un corte duro wilsoniano y la retícula funcionan modificando el integrando en la integral de bucle puramente real de la izquierda a altas energías, por lo que no es posible convertirla en imaginaria pura. Esto parece implicar que todos estos esquemas de regularización violan la unitaridad, y de hecho la violan máximo . Pero nunca he visto a nadie decir eso, y además una teoría reticular en una caja finita es de dimensión finita, y en este caso la unitariedad es trivial de establecer.
¿Qué está pasando aquí?
