Mostrar $\psi(x)=\theta(x)+O(\sqrt x\log x)$ para la función de Chebyshev $\psi$

Question

En mi libro de texto, existe el siguiente teorema:

Para todos $x>0$ tenemos $$\psi(x)=\sum_{\alpha=1}^\infty\theta(x^{1/\alpha})$$ y por lo tanto $$\psi(x)=\theta(x)+O(\sqrt x\log x).$$

Aquí $\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ y $\psi(x)=\sum_{p^\alpha\le x}\log p$ son los Funciones de Chebyshev . La primera fórmula se demuestra con unas pequeñas manipulaciones de la suma, pero la segunda fórmula no se explica.

Mi opinión es que el autor está escribiendo $\sum_{\alpha=1}^\infty\theta(x^{1/\alpha})=\theta(x) +\sum_{\alpha=2}^\infty\theta(x^{1/\alpha})$ y el término principal del resto es $\theta(\sqrt x)$ . Al tratarse de un material introductorio no tenemos el PNT, por lo que no sabemos $\theta(x)\sim x$ pero una simple estimación da $\theta(x)\le x\log x$ por lo que el término principal es efectivamente $\sqrt x\log(\sqrt x)=\frac12\sqrt x\log x$ . Pero no es obvio para mí que los otros términos, de orden $x^{1/3}\log x$ , $x^{1/4}\log x$ etc., no tienen por qué abrumar al primer término, si son suficientes. De nuevo, un límite ingenuo en $\alpha$ da $\alpha\le \log_2 x$ pero esto es demasiado débil si sólo se toma $\log x$ copias de $x^{1/2}\log x$ y no creo que $\sum_\alpha x^{1/\alpha}$ converge.

Answer 1

Podemos hacer la siguiente estimación elemental: $$\begin{align*} \psi(x)-\theta(x) & =\sum_{p^m\le x}\log(p)-\sum_{p\le x}\log(p)\\ & =\sum_{p\le \sqrt{x}}\log(p)\sum_{2\le m\le\frac{\log(x)}{\log(p)}}1 \\ & \le \sum_{p\le \sqrt{x}}\log(p)\Bigl[\frac{\log(x)}{\log(p)} \Bigr] \\ & \le \sqrt{x}\log(x). \end{align*}$$