Encuentre $\ker(T)$ donde $T(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix})=a_{12}x^4+a_{22}x^2+a_{11}+a_{23}$

Question

Encuentre $\ker(T)$ donde $T(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix})=a_{12}x^4+a_{22}x^2+a_{11}+a_{23}$

$T:M_{2,3}(\mathbb{Z}_5)\to P_4(\mathbb{Z}_5)$ , donde $\mathbb{Z}_5$ es $\{0,1,2,3,4\}$

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$\ker(T)=\{M\in M_{2,3}(\mathbb{Z}_5)|T(M)=0x^4+0x^3+0x^2+0x+0\}$

Por lo tanto, debemos tener que $a_{12}=0,a_{22}=0$

$(a_{11}+a_{23})=0\to \color{red}{a_{11}=-a_{23}}$

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Así que yo reescribiría mi matriz de la siguiente manera:

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-a_{23}&0&a_{13}\\a_{21}&0&a_{23}\end{bmatrix}$

Pero mi libro de texto lo hace de otra manera, y no sé cómo llega a estos valores

¿De dónde sacó el $4a_{11}$ ¿de? ¿Por qué es $a_{11}$ sólo $a_{11}$ en este caso?

Answer 1

$a_{11} + a_{23} = 0 \ $ si y sólo si $a_{23} = 4a_{11} \ $ porque está trabajando en $\mathbb{Z}/5$ . Usted ha hecho lo mismo, excepto que escribió $-1$ en lugar de $4$ . Son el mismo mod 5, así que no importa cuál uses.