Para encontrar la expansión en serie de Laurent para $\frac{1}{1+z^2}$ centrado en $z=i$ ¿sería correcto utilizar la descomposición de fracciones parciales? Entonces, $\frac{1}{1+z^2}$ = $\frac{1}{(z+i)(z-i)}$ = $\frac{\frac{-1}{2i}}{z+i} +\frac{\frac{1}{2i}}{z-i}$ ?
Respuestas
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Tenga en cuenta que para $z\neq\pm i$ podemos escribir $$\frac1{z+i}=\cfrac1{z-i+2i}=\frac1{2i}\cdot\cfrac1{1-\left(-\frac{z-i}{2i}\right)}$$ y $$\frac1{z+i}=\cfrac1{z-i+2i}=\frac1{z-i}\cdot\cfrac1{1-\left(-\frac{2i}{z-i}\right)}.$$
Ahora bien, una de ellas puede expandirse como un múltiplo de una serie geométrica en el anillo $|z-i|>2$ y la otra puede expandirse como un múltiplo de una serie geométrica en el anillo $0<|z-i|<2$ . Es decir, utilizaremos el hecho de que $$\frac1{1-w}=\sum_{k=0}^\infty w^k$$ siempre que $|w|<1$ . Deberías averiguar qué anillo funciona para cada versión reescrita, y encontrar las respectivas expansiones en ambos casos. Eso te dará dos expansiones de Laurent diferentes de tu función, válidas en dos anillos diferentes.
DonAntonio
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Primero:
$$\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)$$
Ahora
$$|z-i|<1\implies\frac{1}{z+i}=\frac{1}{z-i+2i}=\frac{1}{2i}\frac{1}{1+\frac{z-i}{2i}}=\frac{1}{2i}\left(1-\frac{z-i}{2i}+\frac{(z-i)^2}{-4\cdot 2!}+\ldots\right)\implies$$
$$\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{2i}\left(1-\frac{z-i}{2i}-\frac{(z-i)^2}{8}+\ldots\right)\right)=$$
$$\frac{1}{2i(z-i)}+\frac{1}{4}-\frac{z-i}{8i}-\frac{(z-i)^2}{32}+\ldots$$
