¿Cuál es la estadística suficiente para esta función?

Question

$f(x)=\theta/x^2$ donde $\theta<x<\infty$

Dado que la probabilidad es $lik(\theta)=\theta^n \prod x_i^{-2}$

Me parece que $T(X)=\prod x_i^{2}$ es la estadística suficiente, pero intuitivamente, creo que debería ser $T(X)=\min(x_1...x_n)$

Answer 1

Pues su función de distribución es

$f(x)=\dfrac{\theta}{x^2} \mathbb{1}_{\{x>\theta\}}$

por lo que su probabilidad es

$\prod\limits_{i=1}^n \dfrac{\theta}{x_i^2} \mathbb{1}_{\{x_i>\theta\}}$

El criterio de factorización de Fisher dice $l(\theta|x) = h(x) g_\theta(T(x))$ entonces T(x) es una estadística suficiente.

en lugar de lo que has escrito, $\prod\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i^2}$ parece $h(x)$

lo que te queda es el producto de la función indicadora es $\prod\limits_{i=1}^n\theta\mathbb{1}_{\{x_i>\theta\}}$ bueno, ¿cómo puedes escribir eso usando min?

EDIT: Es un error común olvidar la función indicadora. Esto es muy muy importante, especialmente cuando el rango de la distribución depende del parámetro.