Volumen mínimo de los dominios fundamentales de los retículos

Question

Consideremos un entramado de enteros de rango completo en $\mathbb{R}^n$ . Sea $v_1$ sea el vector más corto no nulo de la red, $v_2$ sea la más corta entre las que no son paralelas a $v_1$ , $v_3$ sea el más corto que no esté contenido en el tramo lineal de $v_1,\ v_2$ y así sucesivamente hasta $v_n$ . ¿Cuál es el ínfimo de la relación del volumen del paralelótopo abarcado por $v_1,...,v_n$ dividido por $\prod_{i=1}^n|v_i|$ donde el mínimo se toma sobre todas las redes de rango completo? ¿Puede alcanzarse el ínfimo, y si es así, cuáles son los entramados extremos?

Cuando $n=2$ la relación infima es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , conseguida de forma única por el entramado hexagonal con $|v_1|=|v_2|$ . El volumen puede interpretarse como el volumen de un toroide plano, y el $v_i$ pueden verse como geodésicas cerradas que abarcan el grupo fundamental.

Answer 1

Acabo de observar que el segundo teorema de Minkowski proporciona un límite superior e inferior para el volumen del dominio fundamental: $\frac{2^n}{n!}vol(\Lambda)\leq \lambda_1...\lambda_n\omega_n\leq 2^n vol(\Lambda)$ ,

donde $\Lambda$ es la red, vol es su volumen, $\omega_n$ es el volumen de la bola unitaria n-dim, y $\lambda_i$ son los mínimos sucesivos de la red.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Minkowski_theorem