Convergencia uniforme de $f_n(x) = \frac{1}{1+x^n}$

Question

Para cada número natural $n \ge 2$ defina:

$$f_n(x) = \frac{1}{1+x^n}$$

Encuentre la función $f: [2, \infty) \to \Bbb R$ a la que la secuencia $\{f_n: [2, \infty) \to \Bbb R\}$ converge puntualmente.

Respuesta: Para cualquier $x \ge 2$ , $\lim_{n\to\infty} 1/(1 + x^n) = 0$ porque $\lim_{n\to\infty} (1 + x^n) = \infty$ .

Por lo tanto, $\{f_n (x)\}$ converge a $f(x) = 0$ para todos los puntos $x \in [2, \infty)$ .

¿cómo podríamos demostrar si la convergencia es uniforme o no?

Answer 1

$$ \forall x \ge 2: \left| \frac{1}{1+x^n} \right| \le \frac{1}{1+2^n} $$

La RHS va a $0$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto, para cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar $N \in \Bbb N$ para que $n > N \implies \left|f_n(x)\right| < \epsilon \; \forall x \ge 2$ . La convergencia uniforme es lo que sigue.