Ecuación de un círculo en coordenadas polares bajo una transformación lineal

Question

Digamos que trasladamos un círculo con origen $(0,0)$ en el eje x por alguna constante $c$ . ¿Cuál sería la nueva ecuación del círculo en coordenadas polares? He intentado introducir la ecuación del círculo trasladado $f(x-c)$ pero no estoy seguro de cómo convertirlo en una función en coordenadas polares (en términos de $r$ y $\theta$ ).

Answer 1

La ecuación cartesiana sería $(x-c)^2+y^2=x^2+y^2+c^2-2xc=R^2$ , donde $R$ es el radio del círculo. Dejando que $x = r\cos(\theta), y = r\sin(\theta)$ tenemos $$R^2 = r^2+c^2-2rc\cos(\theta)\implies$$ $$r^2-r\cdot(2c\cos(\theta))+(c^2-R^2)=0 \implies$$ Resolver para $r$ utilizando la fórmula cuadrática y reduciendo, $$r = c\cos(\theta)+\sqrt{R^2-c^2\sin^2(\theta)}$$ Puedes notar que la fórmula no funciona si $c > R$ . Esto se debe a que el origen no estaría dentro del círculo, por lo que algunos $\theta$ no se correspondería con ningún $r$ valor, y algunos corresponderían a dos.