Volumen de la intersección esfera-cubo

Question

Estoy buscando una fórmula para el volumen $V_i(r,L)$ de la intersección entre una esfera de radio $r$ y un cubo de arista $L$ con el mismo centro.

Para $r<\frac L 2$ , $V_i$ es simplemente igual al volumen de la esfera:

$$V_i(r,L) = \frac 4 3 \pi r^3 \ \ \ \ r<\frac L 2$$

Para $r>\frac{\sqrt 3} 2 L $ es igual al volumen del cubo:

$$V_i(r,L) = L^3 \ \ \ \ r>\frac {\sqrt 3} 2 L$$

Para $\frac L 2 < r < \frac{\sqrt 2} 2 L$ es igual al volumen de la esfera menos seis veces el volumen de un casquete esférico. El resultado es

$$V_i(r,L) = \frac 4 3 \pi r^3 -\frac \pi 4(2r-L)^2(4r+L) \ \ \ \ \frac L 2 < r < \frac{\sqrt 2} 2 L$$

Sin embargo, para $\frac{\sqrt 2} 2 L < r < \frac{\sqrt 3} 2 L$ No he podido pensar en una forma fácil de calcular $V_i(r,L)$ .

Answer 1

Como señala John Hughes, se puede fijar el lado del cubo o el radio de la esfera y trabajar en términos de la proporción. La estrategia aquí es fijar la longitud de la arista del cubo para que sea  $2$ Calcula el área de los cortes planos paralelos a una cara del cubo y aplica el teorema de Cavalieri.

Teorema : La intersección del cuadrado $[-1, 1]^{2}$ con el disco de radio  $\rho$ centrada en el origen tiene un área $$ A(\rho) = \begin{cases} \pi \rho^{2} & 0 \leq \rho \leq 1, \\ \pi \rho^{2} - 4\rho^{2} \arccos(1/\rho) + 4\sqrt{\rho^{2} - 1} & 1 < \rho < \sqrt{2}, \\ 4 & \sqrt{2} \leq \rho. \end{cases} $$ La intersección del cubo $[-1, 1]^{3}$ con la bola de radio  $r$ centrado en el origen tiene un volumen $$ V(r) = \int_{-\min(1, r)}^{\min(1, r)} A(\sqrt{r^{2} - x^{2}})\, dx = 2\int_{0}^{\min(1, r)} A(\sqrt{r^{2} - x^{2}})\, dx. $$

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Casos triviales/comprobación de demencia:

• Si $0 \leq r \leq 1$ entonces $0 \leq \sqrt{r^{2} - x^{2}} \leq 1$ para $|x| \leq r$ Así que $A(\sqrt{r^{2} - x^{2}}) = \pi(r^{2} - x^{2})$ y $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

• Si $\sqrt{3} \leq r$ entonces $\sqrt{2} \leq \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ para $|x| \leq 1$ Así que $A(\sqrt{r^{2} - x^{2}}) = 4$ y $V(r) = 8$ .

Casos interesantes (editado para corregir el error con los límites de la integración):

• Si $1 < r \leq \sqrt{2}$ (gris oscuro), entonces

  • $\sqrt{r^{2} - x^{2}} \leq 1$ para $\sqrt{r^{2} - 1} \leq |x| \leq 1$ ,
  • $1 \leq \sqrt{r^{2} - x^{2}} \leq \sqrt{2}$ para $|x| \leq \sqrt{r^{2} - 1}$ ,

  por lo que el volumen es \begin{align*} V(r) &= 2\int_{0}^{1} A(\sqrt{r^{2} - x^{2}})\, dx \\ &= 8\int_{0}^{\sqrt{r^{2} - 1}} \bigl[-(r^{2} - x^{2})\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}\right) + \sqrt{r^{2} - 1 - x^{2}}\bigr]\, dx \\ &\quad + 2\pi\int_{\sqrt{r^{2}-1}}^{1} (r^{2} - x^{2})\, dx. \end{align*} (La segunda integral se evalúa como $\frac{2}{3}\pi\bigl[(3r^{2} - 1) - (2r^{2} + 1)\sqrt{r^{2} - 1}\bigr]$ Por supuesto. No he verificado explícitamente que $V(r)$ evalúa a $\frac{4}{3}\pi r^{3} - 2\pi(r - 1)^{2}(2r + 1)$ La integral es elemental, pero integrando por partes y haciendo la sustitución trigonométrica obvia se obtiene una función racional del seno que parece tediosa de integrar).

• Si $\sqrt{2} < r < \sqrt{3}$ (gris claro), entonces

  • $1 \leq \sqrt{r^{2} - x^{2}} \leq \sqrt{2}$ para $\sqrt{r^{2} - 2} \leq |x| \leq 1$ ,
  • $\sqrt{2} \leq \sqrt{r^{2} - x^{2}} \leq \sqrt{3}$ para $|x| \leq \sqrt{r^{2} - 2}$ ,

  por lo que el volumen es \begin{align*} V(r) &= 8\sqrt{r^{2} - 2} \\ &\quad+ 8\int_{\sqrt{r^{2}-2}}^{1} \bigl[-(r^{2} - x^{2})\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}\right) + \sqrt{r^{2} - 1 - x^{2}}\bigr]\, dx. \end{align*} De nuevo, esta integral es elemental y puede evaluarse exactamente (en principio).

Answer 2

Ya que hablas de una "forma fácil" de calcular el volumen en este tercer caso, sólo puedo decir esto: No creo que haya es una manera fácil. A continuación se exponen mis ideas y mis (modestos) esfuerzos iniciales para resolverlo, pero no terminan con una fórmula real, así que léelo sólo para inspirarte, no para encontrar una solución.

Primero, fijar el radio de la esfera $r$ en $1$ . Obtendrá una respuesta $U(L)$ en términos de $L$ pero para cualquier $(L,r)$ par, la respuesta será simplemente $$ Vol(L, R) = r^3 U(L/r) $$ por lo que esa respuesta más simple proporcionará implícitamente la más compleja

El "caso interesante" es cuando la esquina del cubo "asoma" fuera de la esfera, pero dos trozos adyacentes "que asoman" no asoman lo suficiente como para revelar todo el borde entre ellos en el exterior de la esfera.

Para abordar este caso, quiero girar todo el problema, de modo que un vértice del cubo se encuentre en $P = c(0,1,0)$ , donde $c = \sqrt{3}L/2$ y una arista del cubo se encuentra en el $yz$ avión con $z > 0$ es decir, $\theta = 0$ en coordenadas polares (donde $y = 1$ es el polo norte, donde $\phi = 0$ y en $(0, 0, 1)$ tenemos $\theta = 0, \phi = \pi/2$ sólo para establecer las coordenadas que usaré.

Ahora, mirando al polo norte, vemos las tres aristas de la esquina que sobresale del cubo; en coordenadas polares, se encuentran a lo largo de los planos $\theta = 0, \theta = 2\pi/3, \theta = 4\pi/3$ . Voy a calcular el volumen $V$ de una de las tres "cuñas" de esta pieza saliente.

El volumen de toda la protuberancia será $3V$ y el volumen de todas las protuberancias será $24V$ por lo que la intersección total cubo-esfera será el volumen del cubo $L^3$ con estos salientes restados, es decir, $$ U(L) = L^3 - 24 V. $$

Entonces, ¿qué es $V$ ? Es una integral, en coordenadas polares, de la función radio $h(\theta, \phi)$ para el cubo menos la función de radio para la esfera, que es simplemente la constante $1$ . Los límites de la integral son $$ 0 \le \theta \le 2\pi/3 $$ y $$ 0 \le \phi \le ??? $$

Para averiguar el límite que falta, voy a escribir la ecuación, en coordenadas polares, de la cara cúbica que se encuentra entre $\theta = 0$ y $\theta = 2\pi/3$ es decir, la cara en la que $x$ es siempre positivo, y que contiene $c(0,1,0)$ .

La unidad normal a este plano es $$ n = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix} $$

La ecuación del plano es entonces $$ X \cdot n = L, $$

Al convertir esto a coordenadas polares, se obtiene una expresión bastante complicada para el radio del vector $X$ que es lo que he llamado $h(\theta, phi)$ . Al establecer esta expresión desordenada en $r = 1$ determina la curva de intersección entre la cara del cubo y la esfera, que se puede resolver para $\phi$ en términos de $\theta$ , consiguiendo un poco de expresión $$ \phi = q(\theta) $$ Y ahora $$ V = \int_{\theta=0}^{\frac{2\pi}{3}} \int_{\phi = 0}^{q(\theta)} s ~d\theta. $$ $$ V = \int_{\theta =0}^{\frac{2\pi}{3}}\int_{\phi = 0}^{q(\theta)} (h(\theta, \phi) - 1) J(\theta, \phi) ~d\phi ~d\theta. $$ donde $J$ es el jacobiano apropiado ( $\sin \phi ? \cos \phi ?$ ) para este conjunto de coordenadas polares.