¿Cómo calcular la derivación de un número complejo a partir de la raíz cuadrada de otro número complejo?

Question

En una onda plana en un medio con pérdidas, la constante de propagación compleja es

$$\gamma = \alpha\ + j\beta$$ $$= j \omega \sqrt {\mu \epsilon_c}$$ $$= j \omega \sqrt { \mu \left(\epsilon - j\frac{\sigma}{\omega}\right) }$$

Lo que finalmente resultará en una raíz cuadrada de un número complejo como

$$\gamma = j\omega \sqrt {X+jY}$$

¿cómo puedo proceder para encontrar $\gamma$ en términos de $\alpha$ y $\beta$ ?

Answer 1

Dejemos que $z$ sea el radicando complejo y render

$(z+|z|)^2=z^2+2z|z|+|z|^2=z^2+2z|z|+z\overline z=z(2|z|+2\Re z)$

Así, para $z$ no es un número real negativo para que $|z|+\Re z>0$ :

$z+|z|=\pm(\sqrt z)(\sqrt{2(|z|+\Re z)})$

$\color{blue}{\sqrt z=\pm\dfrac{z+|z|}{\sqrt{2(|z|+\Re z)}}}$

Answer 2

Tenga en cuenta que si $(X+jY)^2=a+jb$ con $a:=-\tfrac{\alpha}{\omega^2},\,b:=-\tfrac{\beta}{\omega^2}$ entonces $X^2-Y^2=a,\,2XY=b$ . Cuadrado, suma y raíz cuadrada, $X^2+Y^2=\sqrt{a^2+b^2}$ . Promedio $X^2\pm Y^2$ , $X^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}$ y $Y^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}$ . Mientras que $X^2$ ( $Y^2$ ) es consistente con dos valores de $X$ ( $Y$ ), sólo existen dos soluciones, no cuatro; las otras dos tienen un error de signo en el valor de $XY$ .

Answer 3

Dejemos que $\sqrt{a+ib}=x+iy$ o $a+ib=(x+iy)^2=x^2-y^2+i2xy$ .

Así que después de la identificación,

$$ax^2=x^4-x^2y^2=x^4-\frac{b^2}4$$

y resolver esa ecuación bicadrática,

$$x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}$$ y $$y=\frac b{2x}.$$