¿Cuáles son Verde casi primos?

Question

En general el público de hablar, Ben Green explica su famosa prueba con Terence Tao como una aplicación del teorema de Szemerédi, pero la colocación de los números primos dentro de un conjunto más pequeño de casi-de los números primos en el que han densidad relativa del 50%. Esto puede haber sido una simplificación -- todo lo que se necesita es positiva y menor densidad.

Él muestra una presentación de alrededor de 44:30 en el video que da los números primos junto con estos casi primos, que parecen ser las siguientes:

35, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 133, 143, 145, 155, 161, 185, 187, 203, 205, ...

Ahora dice que estos son "los mismos números que aparecieron en Chen teorema", es decir, los productos de dos números primos, pero que no funciona. Para uno, muchos semiprimes faltan de la lista anterior. Por otro, el de los números primos han densidad relativa 0 en el conjunto de los números con un máximo de 2 factores primos.

Entonces, ¿qué es esto? He tratado de encontrar una explicación en su papel de 2004, pero como lo que puedo decir que no hay ninguna secuencia de allí, y la parte pertinente (Proposición 9.1 si no me equivoco) es solo una existencia resultado de las medidas pertinentes, no se trata de una medida concreta en la que al menos uno puede encontrar los números que tienen "alto" de peso.

Lo busqué en la Enciclopedia Por internet de Secuencias de Enteros y no encontró resultados. Por la omisión de términos que pude encontrar algunos golpes, especial subsecuencias de extraño semiprimes, pero nada prometedor. (También probé con la adición de los números primos y de búsqueda; sin suerte.) Incluso el superseeker fallado.

Alguna idea?

Answer 1

La siguiente es una simplificación, pero creo que las respuestas que el corazón de su pregunta: echa un vistazo a la Definición 9.2 de Green-Tao:

$$\Lambda_R(n) := \sum_{\substack{d\mid n\\d \le R}} \mu(d) \log(R/d).$$

También tenga en cuenta en la Definición 9.3 que $R$ es tomado como una pequeña corriente positiva $N^{c_k}$ donde $[1,N]$ es (más o menos), el intervalo en el cual uno está tamizado para progresiones aritméticas.

La función de $\Lambda^2_R(n)$, se estira y picado en un par de maneras, por Definición, 9.3, pero esencialmente, es la medida concreta que estás buscando. Observe que cuando el menor factor primo de $n$ al menos $R$,$\Lambda_R(n) = \log R$: estos resultan ser el (a granel) de los números para los que la medida es spikiest. Por el contrario, si $n$ tiene factores primos que son menores de $R$, entonces vamos a llegar algunos de cancelación de la señal de los cambios de $\mu$.

Si bien es teóricamente concebible que algunos altamente compuesto valores de $n$ el rendimiento de las sumas que conspiran para grandes valores de $\Lambda_R$, esto no es sólo algo que sucede bastante a menudo a la materia. De hecho, el promedio de la magnitud de $\Lambda_R$ durante un tiempo razonablemente largo intervalo es sólo $O(1)$, y el valor promedio de $\Lambda_R^2$ $O(\log R)$ (el punto de la Sección 10 es demostrar mucho más en la forma de este), por lo que la contribución a partir de los números primos en $[R,N]$ tiene de densidad positiva con respecto a la medida.

Aunque Chen teorema usualmente se expresa en el lenguaje sencillo de la semiprimes, la prueba se obtiene en realidad algo un poco más fuerte (véase, por ejemplo, p.483 de la Ópera de Cribro): existen infinitos números primos $p$ tal que $p-2$ $\le 2$ primer divisores de cada uno de los cuales es, al menos,$p^{1/8}$.

Para hacer sentido de Green comparación a Chen de los números primos, creo que es razonable a la luz del párrafo anterior para aproximar "semiprimes" por "los números de $n$ cuyos factores primos son todos mayores de $n^{c_k}$", una condición que es en algunos aspectos más débiles (permite más de 2 factores primos) y en algunas de las formas más fuerte (que están restringidas en tamaño). Más significativamente, esto se refiere a su preocupación acerca de la cardinalidad de semiprimes. Mientras que usted está de curso correcto que hay $N \log \log N / \log N$ semiprimes a a $N$, esto no se aplica para el segundo set, lo cual es todavía de tamaño $O(N/\log N)$ (ver Buchstab del teorema) y comparable a la de los primos de sí mismos.

Answer 2

La secuencia dada (yo no me verificación cruzada con la presentación) parece consistir en números que son producto de dos números primos, ambos mayores de $3$.