Medida de la probabilidad en un espacio muestral finito

Question

Este es un teorema de Casella y Berger Inferencia estadística :

Dejemos que $S = \{s_1, \dots, s_n\}$ (espacio muestral) sea finito y $p_1, \dots, p_n$ sea no negativo para todo $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ y $\sum\limits_{i=1}^{n}p_i = 1$ . Para cualquier $A \in \mathcal{B}$ (a $\sigma$ -de subconjuntos de $S$ ), defina $\mathbb{P}: \mathcal{B} \to [0, 1]$ por $$\mathbb{P}(A) = \begin{cases} \sum_{\{i \mid s_i \in A\}}p_i, & A \neq \varnothing \\ 0, & A = \varnothing\text{.} \end{cases}$$ Entonces $\mathbb{P}$ es una medida de probabilidad.

¿Se supone que hay alguna correspondencia entre el $s_i$ y $p_i$ ? Se insinúa algún tipo de correspondencia con que haya el mismo número de elementos en $S$ y el número de $p_i$ . Mi suposición es que hay algún tipo de medida de probabilidad entre ellos, es decir, $\mathbb{P}^{\prime}(s_i) = p_i$ si $\mathbb{P}^{\prime}$ es una medida de probabilidad.

Answer 1

La expresión $∑_{\{i∣s_i\in A\}}p_i$ debe interpretarse como: suma $p_i$ sobre todo $i$ para lo cual $s_i$ pertenece a $A$ . Así, por ejemplo, si el conjunto $A$ contiene los elementos $s_1$ , $s_7$ , $s_{11}$ (y ningún otro elemento de $S$ ), entonces $\mathbb P(A)=p_1+p_7+p_{11}$ . En particular, si $A=\{s_i\}$ entonces $\mathbb P(\{s_i\})=p_i$ .

El teorema es válido independientemente de $p_i$ que utilices, siempre que sean no negativos y sumen 1.

Answer 2

Más claramente, se comienza con $p_i=\mathbb{P}(\{ s_i \})$ y luego lo extiende a una medida de probabilidad sobre el conjunto $\sigma$ -Álgebra.