Si $0^0 = 1$ qué es $\lim_{x\rightarrow 0} 0^{x}?$

Question

Si $0^0 = 1$ qué es $\lim_{x \rightarrow 0} 0^{x}?$ Intuitivamente, parece que también es igual a 1 ya que $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = x = 0$ . Al mismo tiempo, si considero un miembro del conjunto de puntos que se acercan al límite del lado izquierdo, algo como $0^{-1}$ entonces $0^{-1}$ parece ser algo así como $\dfrac{1}{0}$ y eso no puede estar bien. S0 habría una discontinuidad en $x = -1$ para $0^{x}$ . Pero entonces parece que no habría discontinuidad en $x = 0$ o bien entonces. En cualquier caso, no estoy seguro de cómo abordar la respuesta a este problema con rigor y agradecería algún consejo.

Answer 1

Definición de $0^0=1$ es una buena idea cuando se hace matemática discreta, o teoría de conjuntos, u otras cosas relacionadas con la exponenciación y números naturales .

Es menos fortuito en el contexto del análisis, ya que se puede argumentar que $0^x$ y $x^0$ no estarán de acuerdo con el límite como $x\to0$ , por no hablar de que si $x_n\to 0$ y $y_n\to 0$ entonces $\lim {x_n}^{y_n}$ podría ser una gran cantidad de cosas. Así que no es mala idea dejar $0^0$ como indefinido.

Pero mirando a $\lim_{x\to0} 0^x$ vemos que para cada $\varepsilon>0$ Hay un poco de $\delta>0$ tal que para todo $x\in(0,\delta)$ , $0^x=0$ y por lo tanto este es el límite sobre el constante función $0$ . Así que el límite es $0$ , que es testigo de la discontinuidad en virtud de la definición $0^0=1$ .

(Quizá haya que señalar que $\lim_{x\to 0}x^x=1$ que un buen argumento a favor de esta definición, pero en general este ejercicio muestra que $\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^y$ es indefinido, lo que apoya la idea de dejar esto como un término indefinido).

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Como nota a pie de página, sólo consideramos los límites del lado derecho. La exponenciación con números negativos implicados se convierte en un verdadero problema en el dominio de los números reales. Te dejo que descubras por qué la definición de esto utilizando la continuidad y las secuencias racionales no funciona.

Answer 2

La función $f(x)=0^x$ es constante y cero cuando se define (y se define sólo para $x>0$ ). Cualquier límite de la función es $0$ .