Tangente desarrollable de la hélice.

Question

Dejemos que $T$ sea la unión de las líneas tangentes a la hélice $C=(\cos x, \sin x,x)$ .

1) Quiero demostrar que $T - C$ es una variedad suave y encontrar la ecuación para $T$ .

2) Quiero encontrar cuántas veces puede intersecarse una línea $T$ .

T está parametrizado por $\phi:(t,s) \mapsto (\cos t -s \sin t, \sin t +s \cos t, t+s).$ Para demostrar que $T-C$ es un colector liso necesito demostrar que $\phi$ es la incrustación y $\phi_s(t,s)$ y $\phi_t(t,s)$ son linealmente independientes para $s>0$ . No puedo probar que $\phi$ es la incrustación. Y no sé cómo puedo encontrar la ecuación para $T$ .

Answer 1

Parametrización $\phi$ es continua y suave en el espacio 3 incrustado.

El helicoide desarrollable tiene curvatura gaussiana cero cuando el $ z = s+t \ne 0 $ en la parametrización. Lo mismo ocurre cuando es plana con $s+t$ cero. Ambas son superficies bidimensionales incrustadas en 3D.

Ambas superficies se basan en dos parámetros $t,s$ .

Son isométricamente equivalente, mapeable bijetivamente, es decir, en ambos sentidos.

Para las tangentes considere entre dos $s$ valores, infinitos en el $s$ intervalo en cualquier $ (t=t_1)$

Para las hélices, cualquier $ (s = s_1)$ valor con dos limitantes $t$ valores de rotación infinitos en el $t$ intervalo

¿Tiene estas preguntas con respecto a la espiral plana?