probar esto : $\sum_1^{100} A_i = \sum_0^{99} C_i $

Question

En una clase hay 100 alumnos. Definimos $A_i$ como el número de amigos de $ i^{th}$ estudiante y $C_i$ como el número de estudiantes que tiene al menos $i$ amigos.

Pruébalo: $\sum_1^{100} A_i = \sum_0^{99} C_i$

Answer 1

Haciendo la corrección de que la suma en el lado derecho debe empezar desde uno en vez de desde cero:

Considere el número de veces que un estudiante específico contribuye a la suma en el RHS.

Si un estudiante tiene $i$ amigos, entonces contribuirá con uno al total en $C_1$ , de nuevo en $C_2$ , de nuevo en $C_3$ , hasta que de nuevo en $C_i$ . Es decir, aportará un total de $i$ a la suma global (dividida en varias partes de la suma).

El resultado se desprende inmediatamente de esta observación.

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Si eso no fuera lo suficientemente descriptivo, considérelo de esta manera: dejemos que $\chi_{i,j} = \begin{cases} 1&\text{if student}~i~\text{has at least}~j~\text{friends}\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}$

Tenemos entonces que la suma total es igual a:

$$\begin{array}{cccccc} \chi_{1,1}&+\chi_{1,2}&+\chi_{1,3}&+\chi_{1,4}&+\dots\\ \chi_{2,1}&+\chi_{2,2}&+\chi_{2,3}&+\dots\\ \chi_{3,1}&+\chi_{3,2}&+\dots\\ \vdots&&&\ddots\end{array}$$

Observe que $A_i$ es igual a la suma de los $i^{th}$ mientras que $C_j$ es igual a la suma de los $j^{th}$ columna. Al detenerse en $99$ para la suma de $C_j$ está bien ya que $C_{100}=0$ ya que nadie puede ser amigo de $100$ personas (sólo hay $99$ personas para que cada uno sea amigo).

Por lo tanto, la suma del lado izquierdo es la suma de todo, fila por fila, mientras que la suma del lado derecho es la suma de todo, columna por columna.