El mapa de inversión es un mapa conforme

Question

Estoy estudiando la EDP del libro de Evans y necesito demostrar que el mapa de inversión $f:\mathbb{R}^n-\{0\}\to \mathbb{R}^n$ definido por

$$f(x)=\frac{x}{\|x\|^2}$$

es conforme. Así que tengo una pista, mostrar que $Df.(Df)^{t}=\|x\|^{-4}I.$

Fisrt: No entiendo por qué esa pista resolvió mi problema, porque sé que $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ es conforme si para $x,y\in\mathbb{R}^n$ tenemos

$$Dg(x).(Dg(y))^t=C(x) x.y^t$$ ( $x$ es un vector colunn) y $C(x)>0$ función positiva, ¡¿está bien o no?!

Segundo: De todos modos, he utilizado de pista y he encontrado

$$Df.(Df)^t=\|x\|^{-4}\left(I-\frac{4}{\|x^2\|}x.x^t+\frac{4}{\|x\|^4}x.x^t.x.x^t \right)$$ pero no sé cómo concluir la afirmación. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Primero : La definición de conformidad parece impar; ¿se refiere a algo como $Dg(x)^{t} \cdot Dg(x) = C(x) I$ es decir, $$ \left\langle Dg(x)u, Dg(x)v \right\rangle = C(x) \langle u, v\rangle \quad\text{for all $ u $, $ v $} $$ ¿en su lugar?

Segundo : Dentro del paréntesis, observe que $x^{t}x = \|x\|^{2}$ .