Considere la función $$F:(0,1) \times \mathbb{Z} \ni (a,b) \rightarrow a+b \in \mathbb{R}$$ ¿Es surjetivo?
Al principio pensé que $F$ no es suryectiva, porque no obtendremos números enteros. Pero, ¿qué pasa si $0,(9)=1$ ?
Respuestas
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pete
Puntos
1
Su primer pensamiento es correcto.
Si $a\in(0,1)$ y $b\in\mathbb Z$ entonces $a+b\in(b,b+1)$ y para cada $b\in\mathbb Z$ tenemos $(b,b+1)\cap\mathbb Z=\varnothing$ .
Esto lo demuestra: $$\mathsf{im}F\cap\mathbb Z=\varnothing$$ por lo que la función es no surjective.
Ten en cuenta que:
$$0.99999\cdots=1\notin(0,1)$$
Tu primer pensamiento es efectivamente correcto. Nunca obtendrá ningún número entero en la imagen de la función.
En caso de que esté pensando en algo como $$0.\bar{9} = 1,$$ nota que $0.\bar{9}{\color{red}\notin}(0, 1)$ y por lo tanto, realmente no se puede obtener enteros en la imagen.
Como prueba formal, basta con encontrar algún número real que no esté en la imagen. Así pues, demostremos que $43$ no lo es.
Para ello, asuma lo contrario. Entonces, existe $(a, b) \in (0, 1) \times \Bbb Z$ tal que $a + b = 43$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $$a = 43 - b.$$ Desde $b$ es un número entero, también lo es $43 - b$ Así, vemos que $a \in \Bbb Z$ . Sin embargo, esto es una contradicción ya que $a \in (0, 1)$ y $(0, 1) \cap \Bbb Z = \varnothing$ .
