Si ${f_n}$ converge a $f$ en $L_p$ sentido y a $f'$ punto a punto, ¿significa $f=f' a.e.$ ?

Question

La pregunta me vino a la mente cuando leí un teorema de Kubrusly 's " Teoría de la medida: un primer curso ", diciendo que

si $f_n\rightarrow f'$ de manera uniforme y $f_n\rightarrow f''$ en $L_p$ sentido, entonces $f'=f''$ $\mu.a.e$ .

Me pregunto si la afirmación anterior es cierta si la condición de convergencia uniforme se debilita a la convergencia puntual, es decir, si tenemos la siguiente afirmación:

si $f_n\rightarrow f'$ en forma de puntos y $f_n\rightarrow f''$ en $L_p$ sentido, entonces $f'=f''$ $\mu.a.e$ .

Teniendo en cuenta que $f_n\rightarrow f''$ en $L_p$ no significa que $f_n$ converge puntualmente (incluso a.e.), personalmente creo que la prueba de ello puede ser no trivial pero hasta ahora tampoco tengo un contraejemplo en mi mente.

Gracias por cualquier ayuda y si esta afirmación resulta ser algo trivial, pido perdón por la pérdida de tiempo de todos por adelantado.(^_^)

Answer 1

Para cualquier secuencia $f_n \to f''$ en $L^p$ existe una subsecuencia tal que $f_{n(k)} \to f''$ casi en todas partes como $k \to \infty$ . Hay (al menos) dos posibilidades para demostrar esta afirmación:

• En la demostración del teorema de Riesz-Fischer (que establece que $L^p$ es un espacio completo), se suele construir una secuencia de este tipo (véase, por ejemplo René Schilling: Medidas, integrales y martingalas ).
• $L^p$ -La convergencia implica la convergencia en la medida. Como es bien sabido que la convergencia en la medida también implica la existencia de dicha secuencia, la afirmación se deduce.

Ya que por otro lado $f_{n(k)} \to f'$ se deduce de la unicidad (a.e.) de los límites puntuales que $f' =f''$ casi en todas partes.