¿Un mapa conformado lleva los límites a las fronteras?

Question

Creo que es un resultado bien conocido que los mapas conformes entre conjuntos en $\mathbb{C}$ llevar los límites a los límites. Sin embargo, he buscado un poco y me ha costado encontrar este resultado. ¿Es cierto? Además, ¿hay una prueba rápida de ello?

Pido disculpas si esto ya se ha preguntado.

Answer 1

Dado que un mapa conforme $f: \Omega_1 \to \Omega_2$ se extiende continuamente hasta $\bar f: \overline{\Omega}_1 \to \overline{\Omega}_2$ es cierto que $\bar f(\partial \Omega_1) \subset \partial \Omega_2$ . Para elegir una secuencia de puntos $(z_i)$ convergiendo a $z$ en el límite; entonces $\bar f(z) = \lim f(z_i)$ . Llame a $\lim f(z_i) = z'$ y supongamos que $z' \in \Omega_2$ sí mismo. Como $f$ es un homeomorfismo, sea $g = f^{-1}$ . Porque $g$ es continua, $g(z') = \lim g(f(z_i)) = \lim z_i$ pero el primero está en $\Omega_1$ Así que $\lim z_i \in \Omega_1$ contradictorio con nuestra suposición.

No es un hecho que un mapa conforme se extienda continuamente hasta el límite. Por ejemplo, el mapa de Riemannm que toma $\Omega = D^2 \setminus \Bbb R_{\geq 0}$ al disco unitario abierto no tiene una extensión continua hasta su límite. (El mapa inverso que toma $D^2$ conforme a $\Omega$ lo hace, sin embargo. Asigna dos puntos a cada elemento de la tira). Teorema de Carathéodory dice que el mapa de Riemann desde cualquier dominio de Jordan (acotado) al disco unitario se extiende de forma continua a la frontera (induciendo un homeomorfismo). Sospecho que un teorema similar es cierto para los dominios de Jordania multi-conectados, pero no tengo una prueba.