¿Cómo hago un cambio de variables en una integral?

Question

Estaba resolviendo una EDP mediante un cambio de variables. El resultado es

$$V(\xi,\eta) = e^{-\frac{1}{2}\xi}\int A(\eta)\;d\eta$$

donde $A(\eta)$ es una función arbitraria de $\eta$ . Originalmente había utilizado el cambio de variables

\begin{align} \xi&=x+at\\\eta&=x+bt \end{align}

para que $u(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta)) = V(\xi,\eta)$ . Ahora quiero la respuesta en términos de $x$ y $t$ . Cuando intento volver a hacer el cambio de variables, me sale

$$u(x,t)=e^{-\frac{1}{2}(x+at)}\int A(x+bt)\;d(x+bt)$$

Pero ahora tengo un problema. ¿Cómo puedo escribir $d(x+bt)$ en términos de $dx$ y/o $dt$ ?

Esta sería mi suposición: $d(x+bt) = dx+b\,dt$ , en cuyo caso

$$\int A(x+bt)\;d(x+bt)=\int A(x+bt)\;dx + \int A(x+bt)\;dt.$$

Esto me parece poco claro. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Si $b$ y $t$ son independientes de $x$

$$\frac{d(x+bt)}{dx}=1$$

Así que:

$$d(x+bt)=dx$$

Si no es independiente entonces,

$$\frac{d(x+bt)}{dx}=1+\frac{d(bt)}{dx}$$

Así,

$$d(x+bt)=dx+d(bt)$$

Si $b$ es constante con un cambio en $x$ entonces,

$$d(x+bt)=dx+bdt$$

Si $b$ no es constante entonces a través de la regla del producto tenemos,

$$d(x+bt)=dx+bdt+tdb$$