¿Qué tamaño tiene $r$ para garantizar que $x^4+y^4 >r^2$ para todos $x^2+y^2 =r^2$ ?

Question

Considere el círculo $x^2+y^2 = r^2$ para algunos fijos $r>0$ . ¿Qué tamaño tiene $r$ para garantizar que $$x^4+y^4 >r^4$$ para todos $x^2+y^2 =r^2$ ? Sé que $x^2<x^4$ siempre que $|x| >1$ pero no estoy seguro de cómo utilizarlo aquí.

Answer 1

Por C-S $$(1^2+1^2)(x^4+y^4)\geq(x^2+y^2)^2.$$ Así, $$x^4+y^4\geq\frac{1}{2}r^4.$$

Answer 2

Sugerencia :Deja $x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}$ .

Answer 3

$x^4+y^4=r^4-2r^4\cos^2{\theta}\sin^2{\theta}=r^4(1-\frac{1}{2}\sin^2{2\theta})$

El valor mínimo del término entre paréntesis es $\frac{1}{2}$

Así que $s^4<\frac{1}{2}r^4$