Simplificación de una suma doble de inversos

Question

Dejemos que $$f(n) = 2 \sum\limits_{a = 2}^{n - 1} \sum\limits_{b = n + 1}^{n + a - 1}\frac{1}{ab} .$$

Se puede ver que $$\lim\limits_{n \to \infty}f(n) = 2\int\limits_0^1 \frac{dx}{x} \int\limits_1^{1 + x}\frac{dy}{y} = \frac{\pi^2}{6}.$$ Esto sugiere que la doble suma que define $f(n)$ puede transformarse en una única suma parecida a la suma cuadrada inversa (aunque no lo he conseguido después de unos minutos con lápiz y papel).

Pregunta : ¿Existe una forma cerrada simple para $f(n)$ para que el valor límite (o la existencia, para el caso) sea evidente?

Motivación: considere un grafo aleatorio de tipo "wannabe-graceful-tree". $G = (V, E)$ con $V = [n]$ y $E$ que contiene un único par aleatorio $\{x, x + d\}$ para cada $d$ de $1 \to n - 1$ . Entonces $f(n)$ es (casi) la expectativa del número de triángulos en $G$ .

Answer 1

Tenemos $$f(n+1)-f(n)=\frac1{n^2}+\frac2{n}\left(1+\frac 12+\ldots+\frac 1{n-1}\right)-\frac2{n+1}\left(1+\frac 12+\ldots+\frac 1{n}\right),$$ y $f(2)=0$ . Así que \begin{gather*} f(m)=\sum_{n=2}^{m-1}(f(n+1)-f(n))=\sum_{n=2}^{m-1}\frac1{n^2}-\frac2{m}\left(1+\frac 12+\ldots+\frac 1{m-1}\right)+1=\\=\sum_{n=1}^{m-1}\frac1{n^2}-\frac2{m}\left(1+\frac 12+\ldots+\frac 1{m-1}\right). \end{gather*}