Propiedades de los cardenales

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\operatorname{card}(n)=n$ para todos $n \in \omega$ donde definimos

$$\operatorname{card}(x):= \min \{\alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f: \alpha\to x\ \wedge f \text{ is bijection}\}$$

Estoy tratando de utilizar la inducción y sí para el caso $n=0$ está claro. Pero cómo probar el paso de la inducción...

Answer 1

Asumir la propiedad para todos $k\leq n$ . Supongamos que existe una biyección $f : n+1 \to k+1$ con $k\leq n$ (obviamente, $card(n+1) \neq 0$ ).

Entonces $f(n) = k$ o puede componer $f$ con una biyección $g$ tal que $g\circ f(n) = k$ . Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f(n) = k$ . Entonces no debería ser muy difícil demostrar que $f_{\mid n}$ es una biyección $n\to k$ , lo que le permite utilizar su hipótesis de inducción, de modo que $n=k$ y así $n+1= k+1$ , que era la conclusión deseada.