No cierra órbitas de un campo gravitacional Newtoniano en 4 dimensiones espaciales

Question

Se supone que vamos a mostrar que orbita en 4D no están cerradas. Por lo tanto, me derivados de un Lagrangiano en hyperspherical coordenadas $$L=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+\sin^2(\gamma)(\sin^2(\theta)r^2 \dot{\phi}^2+r^2 \dot{\theta}^2)+r^2 \dot{\gamma}^2)-V(r).$$

Pero se supone que vamos a expresar el Lagrangiano en términos de la constante generalizada ímpetus y las variables $r,\dot{r}$. Pero como $\phi$ es la única cíclico de coordenadas después de lo que he derivada, esto parece ser bastante imposible. ¿Alguien de ustedes saben calcular más constante momenta?

Answer 1

Sugerencias:

1. Demostrar que el momento angular $L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$ es conservada por una fuerza central de la ley en $d$ dimensiones espaciales, $i,j\in\{1,2,\ldots ,d\}.$

2. Elegir un plano 2D $\pi$ a través del origen, que es paralela a la posición inicial y el impulso de los vectores. Deducir (a partir de las ecuaciones de movimiento $\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$) que el punto de la masa sigue siendo confinado a este plano 2D $\pi$ (conocido como el plano de la órbita) por todo el tiempo $t$. Por tanto, el problema es esencialmente 2+1 dimensiones con coordenadas radiales $(r,\theta)$ y el tiempo de $t$. [En otras palabras, el ambiente $d-2$ dimensiones espaciales se reducen a espectadores pasivos. Curiosamente, este argumento esencialmente muestra que la conclusión de Bertrand del teorema son independientes del número total $d\geq 2$ dimensiones espaciales; es decir, la conclusión de que sólo el central potenciales de la forma $V(r) \propto 1/r$ o $V(r) \propto r^2$ han cerrado estable órbitas.]

3. Deducir que el Lagrangiano es $L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) -V(r)$.

4. El momenta son $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ and $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$

5. Tenga en cuenta que $\theta$ es cíclica variable, por lo que el correspondiente impulso $p_{\theta}$ (que es el momentum angular) se conserva.

6. Deducir que el Hamiltoniano es $H=\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r)$.

7. Interpretar el angular de la energía cinética plazo $$\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}~=:~V_{\rm cf}(r)$$ como una centrífuga potencial plazo en una 1D radial mundo. Ver también este Phys.SE post. Por lo tanto el problema es, esencialmente, 1+1 dimensiones $H=\frac{p_{r}^2}{2m}+V_{\rm cf}(r)+V(r)$.

8. A partir de ahora supondremos que la fuerza central $F(r)$ es Newtoniano de la gravedad. Mostrar a través de un $d$-dimensional de la ley de Gauss que una de Newton, la fuerza gravitacional en $d$ dimensiones espaciales depende de la distancia $r$$F(r)\propto r^{1-d}$. (Véase también, por ejemplo, la www.superstringtheory.com página web, o B. Zwiebach, Un Primer curso de Teoría de cuerdas, la Sección 3.7.) De forma equivalente, la de Newton de gravitación el potencial es $$V(r)~\propto~\left\{\begin{array}{rcl} r^{2-d} &\text{for}& d\neq 2, \\ \ln(r)&\text{for}& d= 2. \end{array}\right.$$

9. Hasta ahora, la dimensión espacial $d\geq 2$ podría ser arbitraria. A partir de ahora supondremos que $d=4$. Aviso de la simplificación hecho de que en $d=4$, el potencial centrífugo $V_{\rm cf}(r)$ y el potencial gravitacional $V(r)$ tienen exactamente el mismo $1/r^2$ dependencia!

10. Por lo tanto, si uno de los centrífuga potencial de $V_{\rm cf}(r)$ y el potencial gravitacional $V(r)$ domina, se seguirá dominando, y por lo tanto cerrado órbitas son imposibles. La radial coordinar $r$ iban a monótonamente a $0$ o $\infty$, dependiendo del potencial domina.

11. Sin embargo, si el potencial centrífugo $V_{\rm cf}(r)$ y el potencial gravitacional $V(r)$ acaba de pasar a cancelar por una distancia de $r$, ellos siguen cancelar para todas las distancias de $r$. La segunda ley de Newton se convierte en $\ddot{r}=0$. Por lo tanto, un cerrado órbita circular $\dot{r}=0$ es posible. Sin embargo, esta cerrado órbita circular no es estable frente a perturbaciones en la velocidad radial de $\dot{r}$, de acuerdo con Bertrand del teorema.

Answer 2

Las 4 dimensiones de caso contiene el 3d, por lo cerrado de las órbitas de existir si existen en tres dimensiones. Por el contrario, si no cerrado órbitas existen en 3d, existen obviamente también en 4d. Según el teorema de Bertrand, los dos únicos potenciales que en tres dimensiones admitir estable cerrado órbitas son la armónica y la de newton, por lo que queda por demostrar que en la dimensión 4 estos dos posibles admitir no cerrado órbitas, por simplicidad voy a hacer el cálculo para la de newton, pero la prueba de la armónica es igual de sencillo.

La introducción de las coordenadas cilíndricas para $x,y$ $z,w$ por separado el lagrangiano es: $$Lag=m(\dot{r_1}^2+\dot{r_2}^2+r_1^2\dot{\theta_1}^2+r_2^2\dot{\theta_2}^2)/2-V(\sqrt{r_1^2+r_2^2})$$ o, la introducción, el angular momenta: $$Lag=m(\dot{r_1}^2+\dot{r_2}^2+L_1^2/(m r_1)^2+L_2^2/(m r_2)^2)/2-V(\sqrt{r_1^2+r_2^2})$$ cambiando de nuevo a coordenadas cilíndricas ($(r_1,r_2)\to(\rho,\phi),\phi \in (0,\pi/2))$ tenemos ($L_{complex}=L_1+i L_2=Le^{i \Phi}$): $$Lag=m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+(\cos^2\Phi/\cos^2\phi+\sin^2\Phi/\sin^2\phi)(L/(m\rho))^2)/2-m k/\rho$$ por la elección de

$$\phi(0)=\arctan{\tan^{2/3}\Phi}=\phi_0,\,\dot{\phi}(0)=0,$$ $$\rho(0)=(1+\bronceado^{2/3}\Phi)(\cos^2\Phi+\sin^2\Phi/\bronceado^{4/3}\Phi)L^2/(2 k m^2)=\rho_0,\,\dot{\rho}(0)=0,\,\theta_1(0)=0,\,\theta_2(0)=0$$ nosotros obtiene: $$x(t)=\rho_0\cos\phi_0\cos(\omega_1 t)$$ $$y(t)=\rho_0\cos\phi_0\sin(\omega_1 t)$$ $$z(t)=\rho_0\sin\phi_0\cos(\omega_2 t)$$ $$w(t)=\rho_0\sin\phi_0\sin(\omega_2 t)$$ donde $\omega_1=L\cos\Phi/(m\cos\phi_0\rho_0^2),\omega_2=L\sin\Phi/(m\sin\phi_0\rho_0^2)$, ahora bien, si elegimos $\Phi$ tal forma que: $$\tan \Phi=q\tan\phi_0=q\bronceado^{2/3}\Phi\;q\noen \mathbb{Q}$$ condición que es aun menos estrictas que $\tan\Phi$ irracional. Este es un ejemplo de no cerrado obligado órbita. La armónica caso es analógica con diferentes $\rho_0$. Esta construcción es posible para $d\ge 4$ simplemente ignorando las coordenadas. La pregunta en este punto es: no-armónicas o no-newtoniano ($1/r$ para ser claros) son estables órbitas no cerrado para cada $d$?

Answer 3

Suponiendo que el OP pregunta si las órbitas están cerradas por una $\frac 1 {r^3}$-ley, sin duda, es relevante destacar que este es uno de los tres casos en los que la forma explícita de las órbitas son conocidos. Ellos son los llamados Cotes espirales---ejemplos típicos son las curvas de la forma $r \cos ((A \theta+\epsilon)=1$, $r \cosh(A \theta+\epsilon)=1$ y hiperbólico espirales (para los cuales, ver Wikipedia). Esto es en Principia de Newton.