Prueba $\int \bigg(\sum_{n=1}^{\infty} f_n \bigg) d \mu = \sum_{n=1}^{\infty} \bigg( \int f_n d \mu \bigg) $

Question

Supongamos que $\{ f_n \}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia en $L^{+}(X, \mathcal{M}).$ Demostrar que $$\int \bigg(\sum_{n=1}^{\infty} f_n \bigg) d \mu = \sum_{n=1}^{\infty} \bigg( \int f_n d \mu \bigg) $$

No encuentro nada en mi libro que me dé este resultado. Lo único cercano que pude encontrar fue la convergencia Monotone sin embargo no sabemos que $\{ f_n \}$ converge. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Aplicar el Teorema de Convergencia Monótona. Definir $S_n = \sum_{k=1}^n f_k$ . Tenga en cuenta que $S_n\nearrow \sum_{k=1}^\infty f_k$ porque $f_k$ es no negativo. Entonces $\int \sum_{k=1}^\infty f_k = \int \lim_n S_n = \lim_n \int S_n = \sum_{k=1}^\infty \int f_k$ .