Encuentre $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{cosx-1-\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}$

Question

Encontrar el límite (si existe)

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{cosx-1-\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}$$

Utilicé la regla del sándwich de esta manera:

$$0\leq\left|\frac{cosx-1-\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right|\leq\left|\frac{\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right|\leq\left|x^2\right|\underset{x\rightarrow0}{\rightarrow}0$$

Lo que significaría que el límite es $0$ . Sin embargo, Wolfram (así como la solución que nos dieron) dice que el límite es indefinido. ¿Hay algún error en lo que he hecho?

Gracias.

Answer 1

El límite no existe.

Tenga en cuenta que: $$\lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0}\frac{\cos x-1-\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right)=\lim_{y \to 0} \left(\frac{0}{0+y^4}\right) = 0$$ pero: $$\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0}\frac{\cos x-1-\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right)=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-1-\frac{x^2}{2}}{x^4} = -\infty$$

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He preguntado por el cartel porque el límite $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\cos x-1\color{red}{+}\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}$$ habría sido más interesante, desde entonces también: $$\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0}\frac{\cos x-1\color{red}{+}\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right)=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-1\color{red}{+}\frac{x^2}{2}}{x^4} = 0$$

Answer 2

A lo largo del camino $x = 0$ encontramos

$$\lim_{y\to0} 0 = 0$$

A lo largo del camino $y = 0$ encontramos

$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1 - x^2/2}{x^4}$$

$$=^{H}\lim_{x\to 0} \frac{-\sin x - x}{4x^3}$$

$$=^{H}\lim_{x\to 0} \frac{-\cos x - 1}{12x^2}$$

$$=- \infty \neq 0$$

Por lo tanto, el límite no existe.

Sus errores:

Tampoco

$$\left|\frac{cosx-1-\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right|\leq\left|\frac{\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right|$$

(como menciona StackTD)

ni

$$\left|\frac{\frac{x^2}{2}}{x^4+y^4}\right|\leq\left|x^2\right|$$

es cierto.

Así que aprendimos que hay que tener mucho cuidado al manipular las desigualdades. ¡Hasta yo me confundí!

También preguntó por qué $|\cos x−1−x^2/2|≤|x2/2|$ no es cierto.

Por la desigualdad del triángulo,

$|\cos x−1−x^2/2| \leq |\cos x−1| +|−x^2/2| = |\cos x−1| + |x^2/2| \leq 2 + 1/2 x^2$ aunque no es cierto que $|\cos x−1| + |x^2/2| \leq 1/2 x^2$ . Por ejemplo $x = 1$