Encontrar el trabajo de $(0,0)\to(1,1)$ de $\vec F(x,y)=xy^2\hat i+yx^2\hat j$

Question

Necesito encontrar el trabajo de $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)$ del siguiente campo vectorial: $\vec F(x,y)=xy^2\hat i+yx^2\hat j$

Mi intento:

$$\oint_{c}\vec F d\vec r=\int_{(0,0)\to (1,0)}\bigg(xy^2\; dx +yx^2 \; dy\bigg)+\int_{(1,1)\nwarrow(1,0)}\bigg(xy^2\; dx+yx^2\; dy\bigg)$$

¿Es correcto hasta ahora? Si es así, ¿cómo puedo proceder a partir de este punto?

Answer 1

MÉTODO 1:

Podemos simplificar el problema observando que $\nabla \times \vec F=0$ . Por lo tanto, $\vec F$ es, por tanto, conservador en cualquier dominio conectado. Por el Teorema de Stokes, la integral de $\vec F$ sobre cualquier contorno $C$ que delimita un dominio conexo $S$ es

$$\oint_C \vec F\cdot d\vec \ell =\int_S \nabla \times \vec F\cdot \hat ndS$$

Así, la integral de interés es igual a

$$\int_{C_1+C_2}\vec F\cdot d\vec \ell=-\int_{(1,1)\,\text{to}\,(0,0)}(xy^2dx+x^2ydy)=\int_0^1 2t^3=\frac12$$

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MÉTODO 2:

Si elegimos evaluar la integral de línea directamente, es decir, sin deformar el contorno como en el método 1, entonces procedemos como sigue.

$$\int_{C_1+C_2}\vec F\cdot d\vec \ell=\int_{C_1}\vec F\cdot d\vec \ell+\int_{C_2}\vec F\cdot d\vec \ell$$

donde

$$\int_{C_1}\vec F\cdot d\vec \ell=\int_0^1 (x(0)^2)dx =0 \tag 1$$

y

$$\int_{C_2}\vec F\cdot d\vec \ell=\int_0^1 (1)^2y\,dy=\frac12 \tag 2$$

Reunir $(1)$ y $(2)$ obtenemos

$$\int_{C_1+C_2}\vec F\cdot d\vec \ell=\frac12$$

¡como se esperaba!