Automorfismos de las superficies de Riemann

Question

Izumi Kuribayashi y Akikazu Kuribayashi han clasificado todos los grupos de automorfismos de superficies compactas de Riemann de género 3,4,5. (J. Pure Applied Alg.65(3)-Sept.1990, y J. Alg.134(1) Oct.1990)

¿Cuáles son los otros valores de $g\geq 6$ para la que se ha elaborado una clasificación completa de los automorfismos de las superficies compactas de Riemann de género $g$ ¿se ha obtenido? ¿Puede alguien sugerir referencias al respecto, por favor?

Answer 1

Algunas observaciones generales sobre su pregunta: existe un algoritmo que, para cualquier $g$ devolverá una lista de todos los automorfismos de un género $g$ superficie. Intentaré dar una posible interpretación de lo que puede significar "lista".

Por el Estimación de Hurwitz se sabe que cualquier grupo de automorfismo de un género $g$ la superficie es del orden $\leq 84(g-1)$ . Además, si este límite es agudo, entonces el orbifolio cotizante del grupo de automorfismo es el $(2,3,7)$ orbifold triangular. Para determinar cuándo se realiza esto, se puede tomar el $(2,3,7)$ y tratar de encontrar epimorfismos a grupos finitos de tamaño $84(g-1)$ para el que cada elemento de torsión (no identitario) se mapea de forma no trivial. La cubierta correspondiente al núcleo de dicho epimorfismo es una superficie de género $g$ . Larsen ha utilizado esta observación para estimar la frecuencia con la que se alcanza el límite de Hurwitz . En principio, para cualquier $g$ se podría intentar clasificar todos los grupos de orden $84(g-1)$ y luego contar los epimorfismos a estos grupos desde el $(2,3,7)$ grupo calculando dónde se envían los generadores. Sólo hay un número finito de clases de conjugación de elementos de torsión, por lo que se puede calcular si estos epimorfismos mapean de forma no trivial en la torsión. Dos epimorfismos de este tipo darán la misma cobertura si y sólo si los núcleos son los mismos, lo cual es de nuevo (en principio) computable (esto se deduce porque el $(2,3,7)$ grupos triangulares no tiene automorfismos exteriores no triviales).

En términos más generales, supongamos que se elige un $a\leq 84(g-1)$ . Entonces cualquier grupo de orden $a$ que actúa sobre una superficie de género $g$ da un orbifolio cotizante de característica de Euler $(2-2g)/a$ . Se pueden calcular todos los orbifolds de esta característica de Euler, calcular los grupos fundamentales y calcular todos los epimorfismos a grupos de tamaño $a$ (que no son triviales en la torsión). Los grupos de automorfismo que actúan sobre el género $g$ asociados a tales epimorfismos del orbifold cotizante serán equivalentes si y sólo si los núcleos de los epimorfismos son equivalentes por un automorfismo del grupo fundamental del orbifold (ya que los automorfismos internos fijan subgrupos normales, sólo hay que considerar el grupo de automorfismo externo). Esto es, en principio, computable. Hay un número finito de triangulaciones del orbifold cotizante hasta la acción del grupo de clases de mapeo, con vértices en los puntos singulares del orbifold (o triangulaciones de un vértice si la acción es libre). Se pueden calcular todas las triangulaciones posibles, hasta la equivalencia combinatoria (la acción del grupo de clases de mapeo). Dos epimorfismos del mismo orbifold dan lugar a la misma $g$ si y sólo si los núcleos de estos epimorfismos están en la misma órbita de la acción del grupo de la clase de mapas, lo que ocurrirá si las triangulaciones coinciden para alguna elección de triangulación. Se puede navegar a través de todas las triangulaciones haciendo movimientos de Whitehead, para determinar si dos triangulaciones son equivalentes.

Así que una posible respuesta a tu pregunta sería una lista de orbifolds de característica Euler $(2-2g)/a$ , $a\leq 84(g-1)$ junto con los epimorfismos de los grupos fundamentales del orbifold a un grupo de orden $a$ que no son triviales en la torsión. Utilizando los algoritmos descritos, se podría asegurar que esta lista tuviera precisamente un representante de cada grupo de automorfismo. También se podría intentar expresarlos como automorfismos de la superficie eligiendo una triangulación para el orbifolio, y utilizando ésta para obtener un mosaico del espacio de cobertura junto con la acción del grupo sobre este mosaico. Pero no conozco una forma canónica de representar el grupo de automorfismos en una triangulación, a no ser que el cociente sea un bonito orbifold rígido como un triángulo o un orbifold de rotación.

Answer 2

Por lo que sé, una de las mejores referencias para su pregunta es el libro de Breuer

Caracteres y grupos de automorfismo de superficies compactas de Riemann.

Contiene cálculos para $2 \leq g \leq 48$ . Muchos de ellos se han obtenido utilizando el sistema de álgebra computacional GAP.

Answer 3

Aunque esta pregunta se planteó hace varios años, quería añadir una referencia que no se mencionó anteriormente.

Marston Conder ha calculado listas de todos los grupos de automorfismo "grandes" que actúan sobre curvas hasta el género 101, donde por "grande" se entiende que si $G$ actúa sobre una curva $X$ del género $g$ entonces $|G|>4(g-1).$ (Esto significa que el género del cociente $X/G$ debe ser $0$ y hay como máximo $4$ puntos de bifurcación en la cartografía $X \to X/G$ .) Sus datos están aquí:

https://www.math.auckland.ac.nz/~conder/BigSurfaceActions-Genus2to101-ByGenus.txt

Presenta sus grupos como una lista de generadores de manera que el grupo es el cociente del grupo libre sobre $3$ o $4$ variables (dependiendo del número de puntos de ramificación) por esos generadores.

Además, los datos de Thomas Breuer pueden ser un poco difíciles de encontrar. Dado que regularmente necesito los datos para mi propia investigación, pongo su lista completa de grupos y firmas hasta el género 48 aquí: http://www.math.grinnell.edu/~paulhusj/Monodromy/groupsignaturedata

Cada línea de ese archivo dice lo siguiente:

[*genus, order of group, signature, group identification number *]

donde el número de identificación del grupo es una tupla $(a,b)$ donde el grupo $G$ es SmallGroup(a,b) en la base de datos de grupos pequeños en GAP o Magma.