Demostrar que $\|f\|^{2}$ alcanza un valor mínimo en el interior de $B$

Question

Estoy buscando cualquier ayuda, pista o sugerencia sobre cómo abordar este problema desde un examen de calificación anterior.

Se nos da una cartografía suave $f: U \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ cuyo diferencial $df_{p}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es de rango $n$ y tenemos que $\|f(x)-x\|<\frac{1}{2}$ . Aquí $U \subset \mathbb{R}^{n}$ es un subconjunto abierto que contiene la bola unitaria cerrada $B=B_{1}(0)$ . El problema nos pide que demostremos que $\|f\|^{2}$ alcanza un mínimo en el interior de $B$ .

Por ahora, lo único que se me ocurre es el teorema de la función inversa, que hay un subconjunto abierto $V \subset U$ donde $f$ es un difeomorfismo en.

Answer 1

La suavidad y el rango del diferencial es una pista falsa.

1. $B$ es compacto, por lo que se alcanza un mínimo en algún punto de $B$ .
2. $\lVert f(0)\rVert < \frac{1}{2}$ ya que $\lVert f(x) - x\rVert < \frac{1}{2}$ para todos $x$ .
3. $\lVert x\rVert \geqslant 1 \implies \lVert f(x)\rVert = \bigl\lVert x - \bigl(x-f(x)\bigr)\bigr\rVert \geqslant \lVert x\rVert - \lVert x - f(x)\rVert > \lVert x\rVert - \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}$ .

Así que sabemos que un punto en el interior de $B$ donde $\lVert f\rVert$ alcanza un valor menor que en cualquier punto de $U \setminus \operatorname{int}(B)$ por lo que el mínimo de $\lVert f\rVert$ en $B$ se alcanza en el interior de $B$ y es un (el) mínimo global. Por supuesto $\lVert f\rVert^2$ tiene mínimos locales o globales en exactamente los mismos puntos que $\lVert f\rVert$ ya que $t \mapsto t^2$ es estrictamente creciente en $[0,+\infty)$ .