Límites superiores para el mínimo $a$ en $p \nmid x^3-a$

Question

¿Existen límites para $a$ cuando para todos $x$ , $p \nmid x^3-a$ y $p$ ¿es un número primo?

Se han realizado numerosos estudios sobre la el menor residuo no cuadrático .

Sin embargo, ¿existen estos límites también para los cubos?

Se sabe que no hay tal $a$ existe cuando $p-1$ es coprima de $3$ .

Sin embargo, ¿qué ocurre si $p-1$ no es coprima de $3$ ?

Debido a Lemma de Thue existe $x \equiv ky \pmod p$ donde $x,y$ tiene un valor absoluto inferior a $\sqrt {p}$ y $k$ es un número coprimo a $p$ .

Si ponemos $k$ como raíz primitiva de $p$ y si todos los números menores que $\sqrt {p}$ no era tan $a$ sería una contradicción.

Mi pregunta es la siguiente Para $p \equiv 1 \pmod 3$ ¿es cierto que $a<2\sqrt [ 3 ]{ p }$ ?

Esto parece ser cierto, pero no puedo probarlo, ni tengo idea de cómo resolverlo. Cualquier ayuda se agradecería.

Answer 1

Si $3 \mid p-1$ entonces deja que $g$ sea una raíz primitiva módulo $p$ . Escriba $a=g^k$ entonces $$x^3 \equiv g^k \mod{p} \Leftrightarrow 3 |k$$

Así que la pregunta que se hace es la siguiente: Encontrar el menor número entero positivo $a$ que está en el conjunto $$A:=\{ g^k | 3 \nmid k \}$$

Por lo tanto, el orden de magnitud de las raíces primitivas enlace aquí te dan algunos límites superiores. Pero como $A$ puede contener (especialmente cuando $p-1$ tiene muchos divisores) muchas raíces no primitivas, es probable que se pueda encontrar un límite superior mejor, pero no veo ninguno evidente.