Tomando la divergencia del gradiente de un campo escalar que depende sólo del vector posición en $\mathbb{R}^3$ .

Question

El campo escalar $f$ depende sólo de $r=|\underline{\mathbf{r}}|$ que es el vector de posición en $\mathbf{R}^3$ y necesito calcular la cantidad, $$\nabla \cdot \nabla f$$ he ido calculando $\nabla f$ y tengo esto,

$$(\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z})$$ $$ = (f'\frac{x}{r},f'\frac{y}{r},f'\frac{z}{r})$$ $$= f' \frac{\underline{r}}{r} \quad (*) $$ donde $f'=\frac{\partial f}{\partial r}$ y tengo el $\frac{x}{r}$ de diferenciar el vector de posición.

Estoy bastante seguro de que está bien, pero mi problema viene con la toma de la divergencia, así que tengo eso, $$\nabla \cdot \nabla f = (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\cdot\frac{1}{r}(f'x,f'y,f'z)$$ saco el $\frac{1}{r}$ del producto punto y utilizar la regla de la cadena. $$\frac{1}{r}(\frac{\partial (f'x)}{\partial x}+\frac{\partial (f'y)}{\partial y}+\frac{\partial (f'z)}{\partial z}) $$ que al utilizar la regla de la cadena da $$\frac{1}{r}(3f'+x\frac{\partial f'}{\partial x}+y\frac{\partial f'}{\partial y}+\frac{\partial f'}{\partial z})$$ Ahora aquí es donde no estoy seguro de decir que esto es equivalente a, $$\frac{1}{r}(3f'+\underline{r}\cdot (\nabla f'))$$ utilizamos $(*)$ para conseguir $$\frac{1}{r}(3f'+\underline{r}\cdot(f''\frac{\underline{r}}{r}))$$ $$= \frac{1}{r}(3f'+(\underline{r}\cdot\underline{r})(f''\frac{1}{r}))$$ utilizando el hecho de que $x \cdot x = |x|^2$ encuentro que $$\nabla \cdot \nabla f =3\frac{f'}{r}+f''$$

Es la primera vez que utilizo los operadores diferenciales de esta manera, así que cualquier ayuda para comprobarlo se agradece.

Answer 1

saco el $1/r$ del producto punto ...

¡Eso no está permitido! $r = r(x, y, z)$ , por lo que no se puede ignorar. Tienes que

\begin{eqnarray} \nabla \cdot \nabla f(r) &=& \nabla \cdot \left(f' \frac{{\bf r}}{r} \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{xf'}{r} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y f'}{r} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z f'}{r} \right) \\ &=& \left(\frac{f'}{r} + \frac{x f''}{r}\frac{x}{r} - \frac{x^2f'}{r^3}\right) + \left(\frac{f'}{r} + \frac{y f''}{r}\frac{y}{r} - \frac{y^2f'}{r^3}\right) + \left(\frac{f'}{r} + \frac{z f''}{r}\frac{z}{r} - \frac{z^2f'}{r^3}\right) \\ &=& \frac{3f'}{r} + \frac{f''}{r^2}(x^2 + y^2 + z^2) - \frac{f'}{r^3}(x^2 + y^2 + z^2) \\ &=& 3\frac{f'}{r} + r^2\frac{f''}{r^2} - r^2\frac{f'}{r^3} \\ &=& 2\frac{f'}{r} + f'' \end{eqnarray}