Prueba con números complejos

Question

Demostrar que $\left|\dfrac{z-w}{1-\bar{z}w}\right| = 1$ donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$ y $\bar{z}w\ne 1$ si o bien $|z| = 1$ o $|w| = 1$ .

Utilicé $|c_1/c_2| = |c_1|/|c_2|$ y multiplicar con $z = x + iy$ y $ = a+ib$ pero me estoy atascando cerca del final.

Answer 1

Importante en el análisis complejo, Transformación de Möbius

1). es fácil comprobar que $\forall z_1, z_2$ $$|z_1-z_2|^2=|z_1|^2-2 \Re(z_1\bar{z}_2)+|z_2|^2$$

2) a partir de 1), tenemos

$$|1-z_1\bar{z}_2|^2=1-2 \Re(z_1\bar{z}_2)+|z_1\bar{z}_2|^2$$

3). de 1) y 2), $\forall z_1, z_2$ $$|1-z_1\bar{z}_2|^2 -|z_1-z_2|^2 =(1-|z_1|^2)(1-|z_2|^2)$$

Answer 2

Supongamos que $|z|=1$ Entonces $$ \left|\dfrac{z-w}{1-\bar{z}w}\right|= \frac{1}{|z|}\left|\dfrac{z-w}{1-\bar{z}w}\right|= \left|\dfrac{z-w}{z(1-\bar{z}w)}\right|= \left|\dfrac{z-w}{z-z\bar{z}w}\right|= \left|\dfrac{z-w}{z-w}\right|=1 $$ Si $|w|=1$ Considera que $|1-\bar{z}w|=|1-\bar{w}z|$ porque son conjugados.

Answer 3

Utiliza la representación polar de los números $z$ y $w$ , para dejar $|z|$ y $|w|$ Aparecerá.

Si amplía $|z-w|^2=|1-\overline zw|^2$ , verá las simplificaciones deseadas.