¿Son continuas las funciones holomorfas entre superficies de Riemann?

Question

A partir de la topología diferencial, sabemos que todo mapa suave entre variedades suaves es continuo. Pero para la definición de funciones holomorfas entre superficies de Riemann como

No creo que se garantice que el mapa sea continuo ya que no tiene la condición crítica que $f(U_n) \subset V_m$ .

Answer 1

Este es un punto sutil que muchos autores pasan por alto.

Depende de lo que se quiera decir exactamente con que una función $f$ definido en un subconjunto arbitrario $A\subset \mathbb C$ es analítica . Una definición común es que el dominio $A$ debe ser un subconjunto abierto de $\mathbb C$ y $f$ tiene una derivada compleja en todas partes en $A$ (o está dada localmente por series de potencias convergentes). Utilizando esta definición, decir que $g_m\circ f \circ f_n^{-1}\colon f_n (U_n \cap f^{-1}(V_m))\to g_m(f(U_n)\cap V_m)$ es analítica incluye el requisito tácito de que $ f_n (U_n \cap f^{-1}(V_m))$ está abierto en $\mathbb C$ para cada $m$ y $n$ . Utilizando esta interpretación, si $f\colon S_1\to S_2$ es analítica según la definición citada, entonces es automáticamente continua.

Para ver por qué, dejemos que $p\in S_1$ sea arbitraria. Existen gráficos $U_n$ que contiene $p$ y $V_m$ que contiene $f(p)$ y luego $$ f_n (U_n \cap f^{-1}(V_m)) \text{ is open in $ |mathbb C $} \implies U_n \cap f^{-1}(V_m)\text{ is open in $ S_1 $} $$ (porque $f_n$ es un homeomorfismo sobre su imagen). Restringido al conjunto abierto $U_n \cap f^{-1}(V_m)$ , $f$ viene dada por la fórmula $$ f= g_m^{-1} \circ \big( g_m \circ f \circ f_n^{-1}\big) \circ f_n^{-1}, $$ que es una composición de mapas continuos. Así, $f$ es continua en una vecindad de cada punto, y por tanto continua en $S_1$ .

Si, por el contrario, su interpretación de "analítico en un subconjunto de $\mathbb C$ "no implica necesariamente estar definido en un subconjunto abierto, entonces un mapa analítico según esta definición podría no ser suave. Por ejemplo, se podría definir una función $f$ sea analítico en un subconjunto $A\subset\mathbb C$ si cada punto de $A$ tiene un barrio $U$ en $\mathbb C$ tal que $f$ es igual a una serie de potencias convergentes en $U\cap A$ .

Utilizando esta interpretación, una función $f\colon S_1\to S_2$ que es analítica por la definición citada no necesita ser continua. He aquí un contraejemplo. Sea $S_1 = S_2 = \mathbb C$ con la estructura analítica dada, por ejemplo, por la colección contable de discos con centros racionales y radios $1/2$ y con $f_n$ y $g_m$ los respectivos mapas de identidad. Definir $f\colon S_1\to S_2$ por $$ f(z) = \begin{cases} 1, & \operatorname{Re}z\ge 0,\\ 0, & \operatorname{Re}z <0. \end{cases} $$ Entonces, para cada $m$ y $n$ para lo cual $U_n \cap f^{-1}(V_m)\ne\varnothing$ el mapa compuesto $g_m\circ f \circ f_n^{-1}$ es idéntico $0$ o de forma idéntica $1$ (pero no siempre definido en un conjunto abierto), por lo que es analítico según nuestra definición más amplia. Pero $f$ no es continua.