Entiendo el concepto de que un conjunto se cierra bajo una operación concreta; que, por ejemplo, los números naturales no se cierran bajo la resta. Pero, ¿por qué es importante el cierre? ¿Es necesario que una operación sea cerrada para que sea útil? Si el conjunto no se cierra con una operación, ¿significa que el resultado de la operación no está definido? ¿O es sólo una advertencia para no asumir que el resultado de la operación es el mismo tipo de número?
Respuestas
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MathStudent
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El término "cierre" es útil para comunicar una idea a otra persona. Si estás discutiendo una operación sobre un conjunto subyacente, podrías decir "Si tomo dos elementos de mi conjunto y opero sobre ellos, ¿acabaré en mi conjunto?". Pero esto es muy extenso, así que en su lugar se dice "¿Es el conjunto cerrado bajo esta operación?"
El contexto determinará si "importa". Por ejemplo, en la Teoría de Grupos, nos importa algo llamado "Grupos". Pero para tener un grupo (que es un conjunto y una operación que sigue reglas particulares), y todas las bonitas propiedades que vienen con ellos, necesitamos que nuestra operación sea cerrada.
El resultado de la operación puede seguir siendo definido. En el ejemplo que has dado, 3-5 está ciertamente definido (porque obtienes una respuesta), pero los números naturales no son, como has dicho, cerrados bajo la resta, porque tomas dos elementos de tu conjunto, operas sobre ellos, y no permanecen dentro de tu conjunto.
Lockie
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636
Cuando hablamos de que un conjunto es cerrado bajo una determinada operación, estamos hablando efectivamente de si la operación está bien definida y producirá el mismo tipo de cosa. Es posible que la operación tenga una regla perfectamente definida, pero que nos dé un tipo de cosa diferente (la resta de números naturales, por ejemplo), o puede ser que la operación ni siquiera esté bien definida (como la inversa multiplicativa en el conjunto de todos los $2\times 2$ matrices reales).
