Que la función $f$ definirse como
$f(t) = \begin{cases} 1 & \text{if}\,\, \lvert t\rvert \le 0.5 \\ 0 & \text{if}\,\, \lvert t\rvert \gt 0.5 \end{cases}$
Necesito encontrar la convolución de $f(t)$ con ella misma, $(f\ast f)(t)$ .
Estoy intentando aprender la convolución desde "primeros principios", y este es el ejemplo más básico que he podido encontrar con una respuesta definitiva (que es de lo que tratará mi pregunta).
La solución a esta pregunta es la siguiente:
Tenemos que calcular $$(f \ast f)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)f(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau$$ La integral sólo obtendrá contribuciones cuando ambas partes en la multiplicación sean distintas de cero. Por lo tanto, para un determinado $t$ sólo debemos considerar los valores de $\tau$ que satisfagan $$f(\tau)\ne 0\quad\implies \quad\lvert \tau \rvert\lt 0.5$$ $$f(t-\tau)\ne 0\quad\implies \quad\lvert t-\tau \rvert\lt 0.5$$ $\color{blue}{\text{The integration should be between the limits that satisfy both conditions}}\,$ $\color{blue}{\text{which can be drawn as two crossing bands in the}}$ $\color{blue}{t}$ $\color{blue}{\text{vs.}}$ $\color{blue}{\tau}$ $\color{blue}{\text{plane.}}$
Si $t \gt 1$ no hay $\tau$ que satisfagan los criterios y $(f*f)(t)=0$
$\color{red}{\text{If}}$ $\color{red}{0 \le t \le 1}$$ \color{red}{\text{,}} $ $ \Entonces vemos que $ $ |color{rojo} {\tau} $ $ \color{red}{\text{between}} $ $ |color{rojo}{t-0,5} $ $ \color{red}{\text{and}} $ $ |color{rojo}{0,5} $ $ \color{rojo}{texto} satisfacen todos los criterios y tenemos}} $ $$ (f \ast f)(t)=\int_{t-0.5}^{0.5}1\,\mathrm{d}\tau=(0.5-(t-0.5))=1-t$$
Entiendo todo en la solución excepto el texto marcado en rojo y azul.
En pocas palabras, no tengo ni idea de cómo el autor dedujo que $\tau$ sólo puede tomar valores entre $t-0.5$ y $0.5$ . Ni siquiera puedo verificar que $\tau$ sólo toma estos valores; a partir de $$0 \le t \le 1$$ y restando $0.5$ de ambos lados da $$-0.5 \le \underbrace{t-0.5}_{\tau} \le 0.5$$ así que $$-0.5 \le \tau \le 0.5$$ pero esto no verifica que $$t-0.5 \le \tau \le 0.5$$ Esta pregunta es menos importante, pero ¿podría alguien explicar cómo puedo verificar simplemente que $$t-0.5 \le \tau \le 0.5?$$
Preguntas principales:
[ $\color{red}{\mathrm{red}}$ parte] ¿Cómo pudo el autor deducir que $\tau$ debe estar entre $t-0.5$ y $0.5$ ?
[ $\color{blue}{\mathrm{blue}}$ parte] Supongo que no hay nadie por ahí que pueda generar un gráfico y mostrar estas "bandas de cruce" en el $t$ frente a $\tau$ ¿Avión? Puede que con esto entienda mejor la lógica. Estoy luchando para hacer esto porque $t$ y $\tau$ son variables propias e independientes entre sí. Entonces, ¿cómo podría esbozar $t$ frente a $\tau$ si $t$ no depende de $\tau$ ?
Muchas gracias.
