Positividad de una función lineal continua

Question

Este es uno de los problemas de los deberes.

Demuestre que un funcional lineal continuo $F$ en $C ([0, 1])$ es positivo si y sólo si $F (1) = F $

No estoy seguro de cómo enfocar en cualquiera de las dos implicaciones, siento que la implicación inversa debería seguir fácilmente, ya que la norma es positiva pero ¿cómo se pasa de la identidad a una función positiva arbitraria?

No estoy seguro de cómo empezar en la otra dirección.

Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Primero mencionaré un argumento específico para este contexto, y después un argumento más general.

Desde $F$ es un funcional acotado en $C[0,1]$ existe una medida $\mu$ tal que $$F(f)=\int f\,d\mu$$ para todos $f\in C[0,1]$ . Así que ahora se puede discutir la afirmación en términos de $\mu$ .

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El argumento general que conozco funciona en cualquier C $^*$ -Álgebra.

Si $F$ si es positiva, satisface a Cauchy-Schwarz, en el sentido de que $$|F(\bar g f)|\leq F(|f|^2)\,F(|g|^2).$$ Entonces $$ |F(f)|^2\leq F(|f|^2)\,F(1) \leq \|F\|\,\|f\|^2\,\|F\|\,\|1\|=\|F\|^2\|f\|^2. $$ Se deduce que, dado que todas las funciones positivas con norma uno pueden escribirse como $|f|^2$ con $\|f\|=1$ , $$ \|F\|^2=\sup\{F(|f|^2)\,F(1):\ f\in C[0,1]\}=F(1)\,\sup\{F(g):\ 0\leq g\leq1\}\leq F(1)^2. $$ Así que $\|F\|\leq F(1)\leq \|F\|$ Así que $\|F\|=F(1)$ .

Para la inversa, supongamos que $\|F\|=F(1)$ . Cambiar a $F/\|F\|$ podemos suponer que $\|F\|=F(1)=1$ . Para los verdaderos $f$ con $\|f\|=1$ y $n\in\mathbb Z$ , \begin{align}\tag{1} |F(f)+in|&=|F(f+in )|\leq\|f+in\|=\|(f-in)(f+in)\|^{1/2}\\ \ \\ &=\|f^2+n^2\|^{1/2}=(1+n^2)^{1/2} \end{align} (la última igualdad porque $f^2\geq0$ ). En particular $$ |n+\text{Im}\,F(f)|\leq(1+n)^{1/2}. $$ Así, $$ n-(1+n^2)^{1/2}\leq\text{Im}\,F(f)\leq -n+(1+n^2)^{1/2} $$ para todos $n$ lo que implica que $\text{Im}\,F(f)=0$ . Así que $F$ es real, y tomando $n=0$ en $(1)$ obtenemos $F(f)^2=|F(f)|^2\leq1$ . Así que $-1\leq F(f)\leq 1$ .

Ahora para $f$ con $0\leq f\leq 1$ tenemos $2f-1$ real con $-1\leq 2f-1\leq 1$ Así que por lo anterior $-1\leq 2F(f)-1\leq1$ lo que equivale a $0\leq F(f)\leq1$ . Así que $F$ es positivo.