¿Existe un término técnico para definir el "sentido" de las operaciones matemáticas?

Question

¿Existe un término técnico para definir el "sentido" de las operaciones matemáticas?

Por ejemplo, la suma de vectores que representan fuerzas tiene un significado independientemente del marco de coordenadas, pero un producto elemental no.

Multiplicar cuaterniones que representan rotaciones tiene un significado, mientras que sumar cuaterniones no lo tiene.

Answer 1

En realidad, creo que "con sentido" o "con sentido físico" en muchos casos es lo mejor que se puede conseguir, aunque la palabra puede dividirse en significados más finos. Si pensamos en las matemáticas como un lenguaje, entonces pensemos en palabras que describir lo bien que el descripción cumple su objetivo . ¿La matemática descripción ¿evocar las ideas "correctas"? Así que las palabras en las que podría pensar son:

1. "Bien formado" o "sintéticamente correcto" , es decir es la expresión incluso "legal" según la definición del sistema de axiomas correspondiente: las expresiones no bien formadas podrían ser $x\,-$ o $y\,\times$ ;

2. "tautológico" ( en el sentido lógico ) es decir es la expresión verdadera en todas las interpretaciones posibles: puede alcanzar la tautología por siendo un teorema en un consistente sistema axiomático por ejemplo. A menudo las expresiones no serán totalmente tautológicas, pero al menos pueden interpretarse como tales en el contexto muy restringido del problema o la situación física en cuestión.

3. "bien motivado" o "bien apoyado" La expresión propuesta puede tener un argumento físico que la justifique en un contexto determinado. También puede haber una motivación experimental: si se utiliza la adición de cuaterniones restringida a la $<i,\,j,\,k>$ subespacio para hacer cálculos estáticos, el experimento te respaldaría.

4. "sonido" Los matemáticos a menudo hacen definiciones explícitas de los objetos y de cómo deben ser manipulados, por lo que las únicas expresiones significativas son las que fluyen de la definición particular / sistema de axiomas: esto es muy parecido a "bien formado" . Por ejemplo, un espacio de Hilbert es un espacio completo de producto interno/espacio vectorial igual a su dual topológico (dos definiciones equivalentes), por lo que los argumentos que fluyen de los espacios de Hilbert exigen la formación de productos internos, la formación de secuencias de Cauchy, la construcción de funcionales lineales y la comprobación de su continuidad, etc.: lo que quiero decir es que las expresiones "significativas" están definidas de forma muy estricta, explícita y obvia desde el principio. Los físicos a menudo hacen cosas similares: definen un "sistema de axiomas" para representar algún fenómeno físico y luego buscan "teoremas" en el sistema: en física existe el paso adicional requerido de que debemos probar que nuestros teoremas inferidos están en consonancia con la observación experimental, pero en principio es muy parecido, al menos en principio, al flujo de "axioma, definición, lema, proposición...." de un argumento matemático: las formas "significativas" de juntar declaraciones se deciden al principio. El proceso que Feynman describió como (1) Adivinar una teoría (es decir, establecer los axiomas y elaborar todas sus implicaciones) y (2) probar si modela la realidad y (3) si te equivocas, como casi siempre ocurre en física, volver al paso (1) e iterar de nuevo.

Tenga en cuenta que las matemáticas son, en gran medida, un lenguaje, y que el tipo de ideas que está buscando a tientas no es muy diferente del tipo de palabras que un profesor, un clínico especializado en el desarrollo del niño o un especialista en comportamiento podrían utilizar para describir el lenguaje que observan a medida que el bebé crece y adquiere su lengua materna, primero como secuencias y balbuceos "no legales" (al menos en nuestra restringida forma de pensar lógica), luego como frases sencillas, después como descripciones precisas del mundo inmediato que le rodea y que desembocan en complicadas historias y alegorías en las que se captan y manejan muchos conceptos a la vez y se entretejen con precisión para evocar ideas precisas en las mentes de los demás animales sociales que componen el mundo social del niño. Hay muchos matices de significado para "significativo".