Motivación de la definición de la transformada de Laplace

Question

En ecuaciones diferenciales de pregrado es habitual tratar con la transformada de Laplace para reducir el problema de ecuaciones diferenciales a un problema algebraico. La transformada de Laplace de una función $f(t)$ para $t \geq 0$ se define por $\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ . ¿Cómo evitar considerar esta definición como "mágica"? ¿Cómo descubrirla de algún modo a partir de definiciones más básicas?

Answer 1

Lo que también es muy interesante es que la transformada de Laplace no es otra cosa que la versión continua de las series de potencias - véase esta perspicaz conferencia en vídeo del MIT:

https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/lecture-19-introduction-to-the-laplace-transform/

Answer 2

Esta respuesta no es exactamente una respuesta a la pregunta original, pero esto es para el beneficio del usuario MO vonjd que quería conocer más detalles sobre las similitudes entre la resolución de ecuaciones diferenciales mediante transformadas de Laplace y la resolución de relaciones de recurrencia utilizando funciones generatrices.

Como iba a escribirlo de todos modos, pensé que podría publicarlo aquí para quien estuviera interesado.

Voy a hacer un ejemplo de cada uno, y esto debería ser suficiente para mostrar las similitudes. En cada caso, tenemos una ecuación lineal con coeficientes constantes; aquí es donde ambos métodos realmente brillan, aunque ambos pueden manejar algunos coeficientes variables con más o menos gracia. En última instancia, el mayor reto es aplicar la transformada inversa: siempre es posible en el caso lineal, no tan fácil en los demás.

Caso diferencial

Tome la función $y(t)=2e^{3t}-5e^{2t}$ . Es una solución de la PIV: $$\begin{equation} y''-5y'+6y=0; \qquad y(0)=-3,\ y'(0)=-4. \end{equation}$$ Si aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación, dejando que $Y(s)$ denota la transformada de $y(t)$ , obtenemos $$s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-5[sY(s)-y(0)]+6Y(s)=0.$$ Sustituya los valores de $y(0)$ y $y'(0)$ y resolver para obtener: $$Y(s)=\frac{11-3 s}{s^2-5s+6};$$ y aplicar fracciones parciales para obtener: $$Y(s)= \frac{2}{s-3}+\frac{-5}{s-2}.$$ Ahora es cuando exclamas: "¡Un momento! Reconozco esto, ya que es bien sabido que $$\mathcal{L}[e^{at}]= \frac{1}{s-a}$$ para todos $a$ entonces por linealidad reconocemos la función de la que partí.

Caso de recurrencia

Sea $(a_n)$ sea la secuencia definida para todo $n\geq 0$ por $a_n=2(3^n)-5(2^n)$ . Es una solución de la PIV: $$\begin{equation} a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 \qquad a_0=-3,\ a_1=-4. \end{equation}$$ Definir la función generadora $A(x)$ ser: $$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\; x^n.$$ Multiplicando cada línea de la recurrencia por $x^{n+2}$ da: $$a_{n+2}\; x^{n+2}-5a_{n+1}\; x^{n+2}+6a_n\; x^{n+2}=0$$ Puedes sumar esas líneas para todos $n\geq 0$ , hacer un pequeño cambio de índice en cada suma, y factorizar las potencias relevantes de $x$ para obtener $$\sum_{n=2}^{\infty} a_n\; x^n-5x \sum_{n=1}^{\infty} a_n\; x^n+6x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n\; x^n=0.$$ O en otros términos: $$A(x)-a_1x-a_0-5x[A(x)-a_0]+6x^2A(x)=0.$$ Sustituyendo $a_0$ y $a_1$ y resolviendo para $A(x)$ entonces da, con fracciones parciales: $$A(x)=\frac{11 x-3}{6 x^2-5 x+1}=\frac{2}{1-3 x}+\frac{-5}{1-2 x}$$

¿Te resulta familiar? Debería. Si sustituye $x=1/s$ , se recuperará $sY(s)$ del ejemplo diferencial.

Para generar funciones, el hecho clave que necesitamos aquí es la suma de series geométricas: $$\sum_{n=0}^{\infty} (ax)^n=\frac{1}{1-ax}.$$ Así, por linealidad de nuevo, reconocemos la secuencia de la que partimos en la expresión para $A(x)$ .

Observaciones finales

En ambas teorías, existe la noción de polinomio característico de una ecuación lineal con coeficientes constantes. Este polinomio acaba siendo el denominador de la transformada de Laplace, y el polinomio inverso $x^dp(1/x)$ es el denominador de la función generadora. En ambos casos, las raíces múltiples son muy bien gestionadas por las teorías y explican de forma muy natural la aparición de soluciones del tipo $te^{\lambda t}$ o $n(r^n)$ .

Para mí, el mayor misterio es la perspectiva histórica: ¿fue una técnica anterior a la otra y se explotaron activamente las conexiones, o ambas se desarrollaron de forma independiente durante un tiempo antes de que se advirtieran las similitudes?

Answer 3

Yo siempre había entendido que el motivo era que la transformada de Fourier te da una función que se puede continuar analíticamente, y que continuándola analíticamente te da la transformada de Laplace. Por lo tanto, muchas de las propiedades "mágicas" de la transformada de Laplace se derivan de propiedades similares de la transformada de Fourier, pero también se obtienen otras porque se puede recurrir a la teoría de funciones analíticas.

Answer 4

Puedes pensar en $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(t;s) dt$ como descomposición de $f(t)$ en términos de las funciones de base $g(t)$ .

La elección tiene varias ventajas $g(t;s) = e^{-st}$ como el conjunto de funciones de base a utilizar, siendo la principal que $\frac{dg(t;s)}{ds} = -se^{-st}$ que es una buena propiedad si estás tratando con derivados.

Answer 5

Bueno, la transformada de Laplace (cuando haces la integral de -infinito a infinito) está relacionada con la transformada de Fourier a través de un factor de -2ipi en el argumento. Y la transformada de Fourier es comprensible en el marco abstracto de la Dualidad de Pontryagin.

Básicamente, lo que los físicos llaman el "dominio del tiempo" y el "dominio s" de las transformadas de Fourier son, de hecho, un par de grupos abelianos localmente compactos que son "duales" entre sí (de forma similar a como un espacio vectorial finito y su espacio "dual" son duales entre sí). Para más información, consulta la wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Locally_compact_abelian_groups